Resolva as seguintes integrais:
\int \frac{-x^{3}+2 x^{2}+8 x+4}{x^{4}+4 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{-x^{3}+2x^{2}+8x+4}{x^{4}+4x^{2}}\,dx
e o conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais, já que o denominador fatoriza como x^{2}(x^{2}+4).

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{-x^{3}+2x^{2}+8x+4}{x^{2}(x^{2}+4)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{Cx + D}{x^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}(x^{2}+4) obtém-se
-\,x^{3}+2x^{2}+8x+4 = A\,x^{3} + 4A\,x + B\,x^{2} + 4B + C\,x^{3} + D\,x^{2}.

Passo 3

Igualando coeficientes em cada potência de x:
  • x^{3}: A + C = -1
  • x^{2}: B + D = 2
  • x^{1}: 4A = 8\;\Rightarrow\;A=2
  • x^{0}: 4B = 4\;\Rightarrow\;B=1
Logo A=2, B=1, C=-3, D=1. Portanto
\frac{-x^{3}+2x^{2}+8x+4}{x^{2}(x^{2}+4)} = \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{-3x+1}{x^{2}+4}.

Passo 4

Escrevemos a integral como soma de termos mais simples:
\int \frac{2}{x}\,dx + \int \frac{1}{x^{2}}\,dx + \int \frac{-3x}{x^{2}+4}\,dx + \int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx.
Calculamos cada uma:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln\lvert x\rvert, \quad \int \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{1}{x},
\int \frac{-3x}{x^{2}+4}\,dx = -\frac{3}{2}\ln\bigl(x^{2}+4\bigr), \quad \int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx = \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Resposta

\int \frac{-x^{3}+2x^{2}+8x+4}{x^{4}+4x^{2}}\,dx = 2\ln\lvert x\rvert - \frac{1}{x} - \frac{3}{2}\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) + \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

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