Resolva as seguintes integrais:
\int \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}\,dx
Usaremos conteúdo de substituição trigonométrica, mais precisamente a substituição que transforma \sqrt{x^2-1} em uma função trigonométrica simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = \operatorname{sec}\theta,
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dx = \operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad \sqrt{x^2-1} = \sqrt{\operatorname{sec}^2\theta-1} = \tan\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original,
\int \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}\,dx = \int \frac{\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta}\,\bigl(\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta\bigr) = \int \tan^2\theta\,d\theta.
Usamos a identidade \tan^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta - 1, de modo que
\int \tan^2\theta\,d\theta = \int (\operatorname{sec}^2\theta - 1)\,d\theta.

Passo 4

Agora integramos em \theta:
\int (\operatorname{sec}^2\theta - 1)\,d\theta = \int \operatorname{sec}^2\theta\,d\theta \;-\;\int 1\,d\theta = \tan\theta \;-\;\theta + C.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x. Da substituição x=\operatorname{sec}\theta temos
\tan\theta = \sqrt{x^2-1}, \quad \theta = \operatorname{arcsec}(x).
Como às vezes se expressa \operatorname{arcsec}(x)=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac1x\bigr), obtemos
\tan\theta - \theta + C = \sqrt{x^2-1}\;-\;\operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac1x\Bigr) + C.

Resposta

\sqrt{x^2-1}\;-\;\operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac1x\Bigr) + C.

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