Resolva as seguintes integrais:
\int \frac{5}{x\left(x^{2}+4\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{5}{x\bigl(x^{2}+4\bigr)}\,dx
O conteúdo principal aqui é o método de frações parciais para funções racionais. Vamos decompor o integrando em termos mais simples que possamos integrar.

Passo 2

Suponha a decomposição
\frac{5}{x\,(x^{2}+4)} = \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+4), obtemos
5 = A\,(x^{2}+4) + (B x + C)\,x = (A+B)\,x^{2} + C\,x + 4A.
Comparando coeficientes de potências de x:
  1. Coeficiente de x^{2}\colon A + B = 0
  2. Coeficiente de x\colon C = 0
  3. Termo constante\colon 4A = 5

Passo 3

Das equações temos
4A = 5 \implies A = \frac{5}{4}, \quad A + B = 0 \implies B = -\frac{5}{4}, \quad C = 0.
Logo a decomposição é
\frac{5}{x\,(x^{2}+4)} = \frac{5/4}{x} - \frac{5/4\,x}{x^{2}+4}.

Passo 4

Reescrevendo a integral com essa decomposição:
\int \frac{5}{x\,(x^{2}+4)}\,dx = \frac{5}{4}\int \frac{1}{x}\,dx - \frac{5}{4}\int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx.

Passo 5

Agora integramos cada termo:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert.
  • Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx, usamos a substituição u = x^{2}+4, du = 2x\,dx, daí
\int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+4\bigr).

Passo 6

Substituindo de volta:
\frac{5}{4}\ln\lvert x\rvert - \frac{5}{4}\cdot\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) + C = \frac{5}{4}\ln\lvert x\rvert - \frac{5}{8}\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) + C.

Resposta

\boxed{\int \frac{5}{x\,(x^{2}+4)}\,dx = \frac{5}{4}\ln\lvert x\rvert - \frac{5}{8}\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) + C.}

Exercícios relacionados