Resolva as seguintes integrais:
\int \frac{2 x+1}{x^{4}+x^{3}-2 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2x+1}{x^{4}+x^{3}-2x^{2}}\,dx,
que é uma função racional própria (grau do numerador menor que o do denominador). O método adequado aqui é decomposição em frações parciais.

Passo 2

Começamos fatorando o denominador:
x^{4}+x^{3}-2x^{2}=x^{2}(x^{2}+x-2)=x^{2}(x-1)(x+2).

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações simples, incluindo o termo repetido x^{2}:
\frac{2x+1}{x^{2}(x-1)(x+2)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+2}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x^{2}(x-1)(x+2), obtemos a identidade
2x+1 = A\,x(x-1)(x+2)\;+\;B\,(x-1)(x+2)\;+\;C\,x^{2}(x+2)\;+\;D\,x^{2}(x-1).

Passo 5

Para determinar A,B,C,D, avaliamos em raízes do denominador:
  • Em x=0: 1 = -2B B=-\tfrac12.
  • Em x=1: 3 = 3C C=1.
  • Em x=-2: -3 = -12D D=\tfrac14.
    Para achar A, use x=2:
5 = A\cdot2\cdot1\cdot4 \;+\;4B\;+\;16C\;+\;4D =8A +4(-\tfrac12)+16\cdot1+4\cdot\tfrac14 =8A-2+16+1 =8A+15,
logo 8A+15=5 A=-\tfrac{5}{4}.

Passo 6

Substituindo na integral e integrando termo a termo,
\int\frac{2x+1}{x^{2}(x-1)(x+2)}\,dx =-\tfrac{5}{4}\int\frac{dx}{x} -\tfrac12\int x^{-2}dx +\int\frac{dx}{x-1} +\tfrac14\int\frac{dx}{x+2}.
Calculando cada uma:
-\tfrac{5}{4}\ln|x| ,\quad -\tfrac12\int x^{-2}dx =-\tfrac12(-x^{-1}) =\frac{1}{2x} ,\quad \ln|x-1| ,\quad \tfrac{1}{4}\ln|x+2|.

Passo 7

Juntando os resultados, a antiderivada geral é
-\frac{5}{4}\ln|x| \;+\;\frac{1}{2x}\;+\;\ln|x-1|\;+\;\frac{1}{4}\ln|x+2|\;+\;C.

Resposta

\int \frac{2x+1}{x^{4}+x^{3}-2x^{2}}\,dx =-\frac{5}{4}\ln|x|+\frac{1}{2x}+\ln|x-1|+\frac{1}{4}\ln|x+2|+C.

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