Resolva as seguintes integrais:
integral0^infty e^-x sen x d x

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para resolver a integral definida de 0 até o infinito de . Esse é um problema de cálculo integral que envolve funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração que lidam com integrais impróprias e a aplicação de identidades de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que estamos lidando com uma integral imprópria porque o limite superior é o infinito. Para resolver isso, vamos transformar a integral em um limite:
integral0^infty e^-x sin x , dx = limb to infty integral0^b e^-x sin x , dx

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral indefinida u = sin x Rightarrow du = cos x , dx . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
dv = e^-x , dx Rightarrow v = -e^-x
integral e^-x sin x , dx = -e^-x sin x + integral e^-x cos x , dx
Aplicando a integração por partes:

Passo 4

Agora, precisamos resolver u = cos x Rightarrow du = -sin x , dx . Novamente, usamos integração por partes:
dv = e^-x , dx Rightarrow v = -e^-x
integral e^-x cos x , dx = -e^-x cos x + integral e^-x sin x , dx
Aplicando integração por partes:

Passo 5

Agora, substituímos essa última expressão na equação anterior:
integral e^-x sin x , dx = -e^-x sin x - e^-x cos x + integral e^-x sin x , dx
Chamando I = -e^-x (sin x + cos x) + I de 0 = -e^-x (sin x + cos x) , temos:
I = e^-x (sin x - cos x)2 + C
Subtraindo de ambos os lados:
Isso implica que:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de 0 a limb to infty [ e^-b (sin b - cos b)2 - e^0 (sin 0 - cos 0)2 ] = 0 - ( 0 - 12 ) = 12 e depois tiramos o limite quando tende ao infinito:

Resposta

A integral é igual a .

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