Resolva as seguintes integrais:
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para resolver a integral definida de 0 até o infinito de
. Esse é um problema de cálculo integral que envolve funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração que lidam com integrais impróprias e a aplicação de identidades de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que estamos lidando com uma integral imprópria porque o limite superior é o infinito. Para resolver isso, vamos transformar a integral em um limite:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a integral indefinida
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a integração por partes:
Passo 4
Agora, precisamos resolver
. Novamente, usamos integração por partes:
Aplicando integração por partes:
Passo 5
Agora, substituímos essa última expressão na equação anterior:
Chamando
de
, temos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso implica que:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de 0 a
e depois tiramos o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
A integral
é igual a
.