Resolva as seguintes integrais triplas:
, onde)W
x{2}+y{2}=9
z=x+2$.
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde
é o sólido limitado lateralmente pelo cilindro
, por baixo pelo plano
e por cima pela superfície
.
O conteúdo envolvido é troca de ordem de integração em coordenadas cilíndricas (polares no plano ) e uso de integrais elementares.
O conteúdo envolvido é troca de ordem de integração em coordenadas cilíndricas (polares no plano
Passo 2
Primeiro, projetamos
no plano
:
o cilindro dá e exigir
e
implica
, ou seja
.
Logo o domínio de projeção é
o cilindro dá
Logo o domínio de projeção é
Em seguida, integramos primeiro
de
até
:
Assim
Passo 3
Para explorar a simetria do cilindro, mudamos para coordenadas polares:
A condição
vira
.
A condição é
, cujo ângulo extremo é
com
, i.e.
A condição
Portanto
Passo 4
Expandimos o integrando e integramos em
de
a
. Após multiplicar e coletar termos obtemos
Usando
,
,
,
vem
vem
Passo 5
Agora integramos em
de
a
. Todas as funções são pares, então
Calcula-se
,
,
,
e usa-se as fórmulas usuais de integrais de e substituição em
. O resultado é
e usa-se as fórmulas usuais de integrais de
com
.