Resolva as seguintes integrais triplas:
\iiint_{W}\left(x+y^{2}\right) d V, onde)W é a região do limitada pelo cilindroéãx{2}+y{2}=9 , acima do plano xy e abaixo da superfícieíz=x+2$.

Passo 1

O enunciado pede calcular
I = \iiint_{W}(x+y^{2})\,dV
onde W é o sólido limitado lateralmente pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9, por baixo pelo plano z=0 e por cima pela superfície z=x+2.
O conteúdo envolvido é troca de ordem de integração em coordenadas cilíndricas (polares no plano xy) e uso de integrais elementares.

Passo 2

Primeiro, projetamos W no plano xy:
o cilindro dá x^{2}+y^{2}\le9 e exigir z\ge0 e z\le x+2 implica x+2\ge0, ou seja x\ge-2.
Logo o domínio de projeção é
D = \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le9,\;x\ge-2\}.
Em seguida, integramos primeiro z de 0 até x+2:
\int_{0}^{x+2}(x+y^{2})\,dz = (x+y^{2})(x+2).
Assim
I = \iint_{D}(x+y^{2})(x+2)\,dA.

Passo 3

Para explorar a simetria do cilindro, mudamos para coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.
A condição x^{2}+y^{2}\le9 vira 0\le r\le3.
A condição x\ge-2 é r\cos\theta\ge-2, cujo ângulo extremo é \theta=\pm\alpha com \cos\alpha=-\tfrac23, i.e.
\alpha = \operatorname{arccos}\bigl(-\tfrac23\bigr).
Portanto
I=\int_{\theta=-\alpha}^{\alpha}\int_{r=0}^{3} \bigl(r\cos\theta + r^{2}\sin^{2}\theta\bigr)\bigl(r\cos\theta+2\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Expandimos o integrando e integramos em r de 0 a 3. Após multiplicar e coletar termos obtemos
I=\int_{-\alpha}^{\alpha}\Bigl[ r^{3}(1+\sin^{2}\theta)+2r^{2}\cos\theta +r^{4}\sin^{2}\theta\cos\theta \Bigr]_{0}^{3}d\theta.
Usando \int_{0}^{3}r^{2}dr=9, \int_{0}^{3}r^{3}dr=\tfrac{81}{4}, \int_{0}^{3}r^{4}dr=\tfrac{243}{5},
vem
I=\int_{-\alpha}^{\alpha}\Bigl[ \frac{81}{4}(1+\sin^{2}\theta) +18\cos\theta +\frac{243}{5}\sin^{2}\theta\cos\theta \Bigr]d\theta.

Passo 5

Agora integramos em \theta de -\alpha a \alpha. Todas as funções são pares, então
I=2\int_{0}^{\alpha}\!\frac{81}{4}d\theta +2\int_{0}^{\alpha}\!\frac{81}{4}\sin^{2}\theta\,d\theta +2\int_{0}^{\alpha}18\cos\theta\,d\theta +2\int_{0}^{\alpha}\frac{243}{5}\sin^{2}\theta\cos\theta\,d\theta.
Calcula-se \sin\alpha=\tfrac{\sqrt5}{3}, \sin2\alpha=-\tfrac{4\sqrt5}{9}, \sin^{3}\alpha=\tfrac{5\sqrt5}{27},
e usa-se as fórmulas usuais de integrais de \sin^{2} e substituição em \sin^{2}\theta\cos\theta. O resultado é
I = \frac{243}{4}\,\alpha \;+\;\frac{45}{2}\,\sqrt5,
com \alpha=\operatorname{arccos}(-\tfrac23).

Resposta

\boxed{\,I = \frac{243}{4}\,\operatorname{arccos}\bigl(-\tfrac23\bigr) \;+\;\frac{45\sqrt5}{2}\,}.

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