Resolva as seguintes integrais triplas:
, onde
é a região limitada pelas esferas
e
e abaixo do plano
.
Passo 1
Resumindo, queremos calcular
onde
é a “casca esférica” entre as esferas
e
, mas somente a parte com
(abaixo do plano
). Vamos usar coordenadas esféricas.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
com o Jacobiano
.
No nosso caso: ,
e, como queremos
, temos
, ou seja
.
Assim a integral vira
No nosso caso:
Assim a integral vira
Passo 3
Calculemos a parte em
:
pois
tem valor médio
num período
.
Passo 4
Agora a parte em
:
Use
,
, de
a
:
Passo 5
Finalmente a parte em
:
Passo 6
Multiplicando tudo: