Resolva as seguintes integrais triplas:
\iiint_{W} x^{2} d V, onde W é a região limitada pelas esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 e abaixo do plano x y.

Passo 1

Resumindo, queremos calcular
\iiint_{W} x^2\,dV
onde W é a “casca esférica” entre as esferas \,x^2+y^2+z^2=1 e \,x^2+y^2+z^2=16, mas somente a parte com z\le0 (abaixo do plano xy). Vamos usar coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
com o Jacobiano \rho^2\sin\varphi.
No nosso caso: \rho\in[1,4], \theta\in[0,2\pi] e, como queremos z\le0, temos \cos\varphi\le0, ou seja \varphi\in[\tfrac\pi2,\pi].
Assim a integral vira
\int_{\rho=1}^{4}\!\int_{\varphi=\pi/2}^{\pi}\!\int_{\theta=0}^{2\pi} (\rho\sin\varphi\cos\theta)^2\;\bigl(\rho^2\sin\varphi\bigr)\, d\theta\,d\varphi\,d\rho =\int_{1}^{4}\!\int_{\pi/2}^{\pi}\!\int_{0}^{2\pi} \rho^4\sin^3\varphi\cos^2\theta\, d\theta\,d\varphi\,d\rho.

Passo 3

Calculemos a parte em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta =\pi,
pois \cos^2\theta tem valor médio 1/2 num período 2\pi.

Passo 4

Agora a parte em \varphi:
\int_{\pi/2}^{\pi}\sin^3\varphi\,d\varphi.
Use u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi, de \varphi=\pi/2 u=0 a \varphi=\pi u=-1:
\int_{\pi/2}^{\pi}\sin^3\varphi\,d\varphi =\int_{u=0}^{-1}(1-u^2)(-du) =\int_{-1}^{0}(1-u^2)\,du =\Bigl[u-\tfrac{u^3}{3}\Bigr]_{-1}^{0} = \tfrac{2}{3}.

Passo 5

Finalmente a parte em \rho:
\int_{1}^{4}\rho^4\,d\rho =\Bigl[\tfrac{\rho^5}{5}\Bigr]_{1}^{4} =\frac{4^5-1}{5} =\frac{1023}{5}.

Passo 6

Multiplicando tudo:
\iiint_{W}x^2\,dV =\Bigl(\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta\Bigr) \Bigl(\int_{\pi/2}^{\pi}\sin^3\varphi\,d\varphi\Bigr) \Bigl(\int_{1}^{4}\rho^4\,d\rho\Bigr) =\pi\cdot\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1023}{5} =\frac{2046\pi}{15} =\frac{682\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{682\pi}{5}

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