Resolva as seguintes integrais triplas:
\iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d V onde)W$ é a esfera de raio 2 centrada na origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \iiint_{W}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dV
onde W é a esfera centrada na origem de raio 2.
O conteúdo aqui é o uso de coordenadas esféricas, nas quais
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2},
e o elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, a integral fica
\iiint_{W}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dV =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2}\rho^{2}\,\bigl(\rho^{2}\sin\varphi\bigr)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta,
isto é, o integrando é \rho^{2}\times\rho^{2}\sin\varphi=\rho^{4}\sin\varphi.

Passo 3

Os limites de integração são
0\le\rho\le2,\quad 0\le\varphi\le\pi,\quad 0\le\theta\le2\pi.
Logo podemos separar a integral em três fatores:
\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\times\;\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\;\times\;\int_{0}^{2}\rho^{4}\,d\rho.

Passo 4

Calculamos cada parte:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi,
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = 2,
\int_{0}^{2}\rho^{4}\,d\rho =\Bigl[\tfrac{\rho^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{2} =\tfrac{2^{5}}{5} =\tfrac{32}{5}.

Passo 5

Multiplicando os três resultados:
2\pi \times 2 \times \tfrac{32}{5} =\tfrac{128\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{128\pi}{5}

Exercícios relacionados