(1.0) Resolva as seguintes Integrais usando o método de integração por substituição.
a) \int\left(e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega} \cos (\theta)\right) d \theta
b) \int_{\pi / 6}^{\pi / 4}\left(e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega} \cos (\theta)\right) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando substituição, a integral indefinida
\int e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega}\cos(\theta)\,d\theta
e a integral definida
\int_{\pi/6}^{\pi/4} e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega}\cos(\theta)\,d\theta.
O truque é reconhecer que a derivada de \operatorname{sen}(\theta)+\Omega em relação a \theta é justamente \cos(\theta), permitindo aplicar o método da cadeia.

Passo 2

Para a integral indefinida, fazemos a substituição
u = \operatorname{sen}(\theta) + \Omega,
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du = \cos(\theta)\,d\theta.
Com isso,
\int e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega}\cos(\theta)\,d\theta =\int e^u\,du.

Passo 3

A integral de e^u é e^u. Voltando à variável original \theta, obtemos
\int e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega}\cos(\theta)\,d\theta = e^u + C = e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega} + C.

Passo 4

Para a integral definida de \theta=\pi/6 a \theta=\pi/4, usamos o mesmo antiderivado:
\int_{\pi/6}^{\pi/4} e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega}\cos(\theta)\,d\theta =\Bigl[e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega}\Bigr]_{\pi/6}^{\pi/4}.
Calculando os valores,
e^{\operatorname{sen}(\pi/4)+\Omega}-e^{\operatorname{sen}(\pi/6)+\Omega} =e^{\Omega}\bigl(e^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}-e^{\tfrac12}\bigr).

Resposta

a) \displaystyle e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega}+C
b) \displaystyle e^{\Omega}\bigl(e^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}-e^{\tfrac12}\bigr)

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