Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
\int x \sqrt{3 x^{2}+3} d x

Passo 1

O enunciado dá a integral indefinida
\int x \sqrt{3 x^{2}+3}\,dx
e pede para resolvê-la usando mudanças de variáveis. Também é pedido confirmar a resposta derivando a primitiva e verificando que volta a integranda. Informações relevantes: a integranda contém uma raiz quadrada de uma expressão quadrática 3x^{2}+3 e há um fator x multiplicando a raiz, o que sugere que a derivada do interior da raiz é proporcional a x.

Passo 2

Escolher a mudança de variável adequada. Explicação didática: quando na integral aparece uma função composta do tipo \sqrt{g(x)} e existe um fator x que lembra a derivada de g(x), é natural tentar u=g(x). Aqui tomamos
u = 3x^{2}+3.
Agora calculamos o diferencial de u. Lembrando que a derivada de x^{2} é 2x, temos
du = 6x\,dx.
Isto significa que x\,dx pode ser escrito em termos de du:
x\,dx = \frac{du}{6}.
Esse passo é a mudança de variável: trocamos x e dx por u e du.

Passo 3

Substituir na integral original usando u e du. A raiz fica \sqrt{u} e x\,dx vira \dfrac{du}{6}. Assim
\int x \sqrt{3 x^{2}+3}\,dx = \int \sqrt{u}\,\frac{du}{6} = \frac{1}{6}\int u^{1/2}\,du.
Agora integramos uma potência de u. Regra usada: para \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} + C (válida para n\neq -1). Aplicando com n=\tfrac{1}{2},
\frac{1}{6}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{6}\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2} + C.
Simplificando o fator numérico:
\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3/2} = \frac{1}{6}\cdot\frac{2}{3} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}.
Logo, em termos de u,
\int x \sqrt{3 x^{2}+3}\,dx = \frac{1}{9}u^{3/2} + C.

Passo 4

Voltar à variável x substituindo u=3x^{2}+3:
\int x \sqrt{3 x^{2}+3}\,dx = \frac{1}{9}\bigl(3x^{2}+3\bigr)^{3/2} + C.
Esta é a primitiva encontrada.

Passo 5

Confirmar derivando a primitiva para recuperar a integranda (verificação). Seja
F(x)=\frac{1}{9}\bigl(3x^{2}+3\bigr)^{3/2}.
Usamos a regra da cadeia: a derivada de (\text{algo})^{3/2} é \tfrac{3}{2}(\text{algo})^{1/2} vezes a derivada do “algo”. Assim,
F'(x)=\frac{1}{9}\cdot\frac{3}{2}\bigl(3x^{2}+3\bigr)^{1/2}\cdot(6x).
Agora simplificamos os fatores numéricos: \dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot 6x = \dfrac{1}{9}\cdot 9x = x. Portanto
F'(x)=x\bigl(3x^{2}+3\bigr)^{1/2} = x\sqrt{3x^{2}+3},
que é exatamente a integranda. A verificação está correta.

Resposta

\dfrac{1}{9}\bigl(3x^{2}+3\bigr)^{3/2}+C

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