Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
Passo 1
O enunciado dá a integral indefinida
e pede para resolvê-la usando mudanças de variáveis. Também é pedido confirmar a resposta derivando a primitiva e verificando que volta a integranda. Informações relevantes: a integranda contém uma raiz quadrada de uma expressão quadrática
e há um fator
multiplicando a raiz, o que sugere que a derivada do interior da raiz é proporcional a
.
Passo 2
Escolher a mudança de variável adequada. Explicação didática: quando na integral aparece uma função composta do tipo
e existe um fator
que lembra a derivada de
, é natural tentar
. Aqui tomamos
Agora calculamos o diferencial de
. Lembrando que a derivada de
é
, temos
Isto significa que
pode ser escrito em termos de
:
Esse passo é a mudança de variável: trocamos
e
por
e
.
Passo 3
Substituir na integral original usando
e
. A raiz fica
e
vira
. Assim
Agora integramos uma potência de
. Regra usada: para
(válida para
). Aplicando com
,
Simplificando o fator numérico:
Logo, em termos de
,
Passo 4
Voltar à variável
substituindo
:
Esta é a primitiva encontrada.
Passo 5
Confirmar derivando a primitiva para recuperar a integranda (verificação). Seja
Usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
vezes a derivada do “algo”. Assim,
Agora simplificamos os fatores numéricos:
. Portanto
que é exatamente a integranda. A verificação está correta.