Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
e confirmar a resposta derivando a primitiva obtida para recuperar a função integranda. As informações relevantes dadas são:
- A função a integrar é
. - Trata‑se de uma integral indefinida (procurar uma primitiva).
- Após achar a primitiva, é preciso derivá‑la e verificar que a derivada é exatamente
.
Passo 2
Escolha da mudança de variável e motivação (aula rápida).
- Uma estratégia comum é procurar uma substituição do tipo
onde aparece, até multiplicação constante, no numerador. Aqui a parte de baixo é . Vamos ver a derivada dessa função interna.
- Observação: o numerador da integral é exatamente
, que difere da derivada da expressão do denominador apenas por um fator constante . Isso indica que a substituição
é uma boa escolha, porque
.
Passo 3
Aplicando a substituição passo a passo.
- A partir de
isolamos :
- Substituindo na integral original:
- Sabendo a primitiva básica
(explico rapidinho: a derivada de é para , por isso usamos o valor absoluto), obtemos
Passo 4
Voltar à variável
(retro‑substituição) e escrever a primitiva final.
- Substituindo
de volta, a primitiva fica
Passo 5
Confirmação: derivar a primitiva e verificar que dá a função integranda.
- Derivando
usando a regra da cadeia:
- Já calculamos
. Substituindo:
que é exatamente a função integranda. Portanto a primitiva está correta.