Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
\int \frac{x^{2}-2}{x^{3}-6 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}-2}{x^{3}-6x+1}\,dx
e confirmar a resposta derivando a primitiva obtida para recuperar a função integranda. As informações relevantes dadas são:
  • A função a integrar é \dfrac{x^{2}-2}{x^{3}-6x+1}.
  • Trata‑se de uma integral indefinida (procurar uma primitiva).
  • Após achar a primitiva, é preciso derivá‑la e verificar que a derivada é exatamente \dfrac{x^{2}-2}{x^{3}-6x+1}.

Passo 2

Escolha da mudança de variável e motivação (aula rápida).
  • Uma estratégia comum é procurar uma substituição do tipo u=f(x) onde du aparece, até multiplicação constante, no numerador. Aqui a parte de baixo é x^{3}-6x+1. Vamos ver a derivada dessa função interna.
\frac{d}{dx}\!\big(x^{3}-6x+1\big)=3x^{2}-6=3(x^{2}-2).
  • Observação: o numerador da integral é exatamente x^{2}-2, que difere da derivada da expressão do denominador apenas por um fator constante 3. Isso indica que a substituição
u = x^{3}-6x+1
é uma boa escolha, porque du = (3x^{2}-6)\,dx = 3(x^{2}-2)\,dx.

Passo 3

Aplicando a substituição passo a passo.
  • A partir de du = 3(x^{2}-2)\,dx isolamos (x^{2}-2)\,dx:
(x^{2}-2)\,dx = \frac{1}{3}\,du.
  • Substituindo na integral original:
\int \frac{x^{2}-2}{x^{3}-6x+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,du.
  • Sabendo a primitiva básica \displaystyle \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C (explico rapidinho: a derivada de \ln|u| é 1/u para u\neq0, por isso usamos o valor absoluto), obtemos
\frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{3}\ln|u| + C.

Passo 4

Voltar à variável x (retro‑substituição) e escrever a primitiva final.
  • Substituindo u = x^{3}-6x+1 de volta, a primitiva fica
F(x)=\frac{1}{3}\ln\big|x^{3}-6x+1\big| + C.

Passo 5

Confirmação: derivar a primitiva e verificar que dá a função integranda.
  • Derivando F(x) usando a regra da cadeia:
F'(x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{3}-6x+1}\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{3}-6x+1\big).
  • Já calculamos \dfrac{d}{dx}\big(x^{3}-6x+1\big)=3x^{2}-6=3(x^{2}-2). Substituindo:
F'(x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{3}-6x+1}\cdot 3(x^{2}-2) =\frac{x^{2}-2}{x^{3}-6x+1},
que é exatamente a função integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\ln\big|x^{3}-6x+1\big|+C

Exercícios relacionados