Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes
g) integral e^x cos (5 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral e^x cos (5 x) , dx. A gente vai usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como e^x e cos(5x). Para isso, vamos precisar identificar quais partes serão u e dv na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u e dv. Vamos deixar u = e^x porque ao derivar fica simples, e dv = cos(5x) , dx, que conseguimos integrar fácil.
Então:
u = e^x Rightarrow du = e^x , dx
dv = cos(5x) , dx Rightarrow v = integral cos(5x) , dx = 15 sin(5x)

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que escolhemos:
integral e^x cos(5x) , dx = e^x cdot 15 sin(5x) - integral 15 sin(5x) cdot e^x , dx
Simplificando:
= e^x sin(5x)5 - 15 integral e^x sin(5x) , dx

Passo 4

Vamos focar na nova integral que apareceu: integral e^x sin(5x) , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez:
u = e^x Rightarrow du = e^x , dx
dv = sin(5x) , dx Rightarrow v = -15 cos(5x)
Aplicando a fórmula:
integral e^x sin(5x) , dx = e^x cdot (-15 cos(5x)) - integral (-15 cos(5x)) cdot e^x , dx
Simplificando:
= -e^x cos(5x)5 + 15 integral e^x cos(5x) , dx

Passo 5

Agora, vamos substituir essa última expressão na equação que tínhamos antes:
integral e^x cos(5x) , dx = e^x sin(5x)5 - 15 ( -e^x cos(5x)5 + 15 integral e^x cos(5x) , dx )
Simplificando tudo:
integral e^x cos(5x) , dx = 5 e^x sin(5x) + e^x cos(5x)26 + C

Resposta

A integral é igual a 5 e^x sin(5x) + e^x cos(5x)26 + C.

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