Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0.04 cm .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para usar diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada. A lata tem um diâmetro de 8 cm, uma altura de 12 cm e a espessura da folha de estanho é de 0.04 cm.
Vamos precisar saber sobre geometria de cilindros e como usar diferenciais para fazer pequenas estimativas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da lata. Como ela é cilíndrica e fechada, temos duas partes principais: a base (debaixo e de cima) e a superfície lateral.
  • Diâmetro da lata (d): 8 cm
  • Raio da lata ®: d / 2 = 4 cm
  • Altura da lata (h): 12 cm
  • Espessura do estanho (Δt): 0.04 cm

Passo 3

A quantidade de estanho usada será aproximadamente o volume do material da lata. Isso inclui as duas bases e a parte lateral.
Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Volume das bases:
    Cada base é um círculo com raio r e espessura Δt.
    • Área de um círculo:
    • Volume de uma base:
    • Como temos duas bases:
  2. Volume da parte lateral:
    A superfície lateral de um cilindro é um retângulo dobrado no formato de um cilindro, com altura h e comprimento da base da circunferência.
    • Comprimento da circunferência:
    • Volume da parte lateral:

Passo 4

Agora, somamos os volumes das bases e da parte lateral para obter o volume total de estanho:

Passo 5

Vamos inserir os valores conhecidos nessa equação:
  • cm
  • cm
  • cm

Passo 6

Calculando passo a passo:
  1. Volume das bases:
  2. Volume da parte lateral:
  3. Volume total:

Passo 7

Agora, multiplicamos pelo valor aproximado de (3.1416) para obter um valor numérico:

Resposta

A quantidade estimada de estanho na lata é aproximadamente 16,08 cm³.

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