Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0.04 cm .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para usar diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada. A lata tem um diâmetro de 8 cm, uma altura de 12 cm e a espessura da folha de estanho é de 0.04 cm.
Vamos precisar saber sobre geometria de cilindros e como usar diferenciais para fazer pequenas estimativas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da lata. Como ela é cilíndrica e fechada, temos duas partes principais: a base (debaixo e de cima) e a superfície lateral.
- Diâmetro da lata (d): 8 cm
- Raio da lata ®: d / 2 = 4 cm
- Altura da lata (h): 12 cm
- Espessura do estanho (Δt): 0.04 cm
Passo 3
A quantidade de estanho usada será aproximadamente o volume do material da lata. Isso inclui as duas bases e a parte lateral.
Vamos calcular cada parte separadamente:
-
Volume das bases:
Cada base é um círculo com raio r e espessura Δt.- Área de um círculo:
- Volume de uma base:
- Como temos duas bases:
- Área de um círculo:
-
Volume da parte lateral:
A superfície lateral de um cilindro é um retângulo dobrado no formato de um cilindro, com altura h e comprimento da base da circunferência.- Comprimento da circunferência:
- Volume da parte lateral:
- Comprimento da circunferência:
Passo 4
Agora, somamos os volumes das bases e da parte lateral para obter o volume total de estanho:
Passo 5
Vamos inserir os valores conhecidos nessa equação:
-
cm -
cm -
cm
Passo 6
Calculando passo a passo:
-
Volume das bases:
-
Volume da parte lateral:
-
Volume total:
Passo 7
Agora, multiplicamos pelo valor aproximado de
(3.1416) para obter um valor numérico:
Resposta
A quantidade estimada de estanho na lata é aproximadamente 16,08 cm³.