Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes
e) integral x ln (5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. Esse método é útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui: temos e . Para isso, precisamos identificar qual parte da integral vamos derivar e qual vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual parte da integral será u = ln(5x) e qual será dv = x , dx . Normalmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada. Aqui, vamos escolher:
Então, o que sobra é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx [ln(5x)] , dx = 15x cdot 5 , dx = 1x , dx e v = integral x , dx = x^22 . Vamos derivar e integrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x ln(5x) , dx = ln(5x) cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx

Passo 5

Simplificando a segunda integral:
integral x^22 cdot 1x , dx = integral x2 , dx = 12 integral x , dx = 12 cdot x^22 = x^24

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão:
integral x ln(5x) , dx = x^22 ln(5x) - x^24 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral resolvida é:
integral x ln(5x) , dx = x^22 ln(5x) - x^24 + C

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