Seja
(a) Determine
e
quando
;
(b) Determine
e
;
© Mostre que
e
;
(d) O resultado no item anterior contradiz o Teorema de Clairaut? Por quê?
(a) Determine
(b) Determine
© Mostre que
(d) O resultado no item anterior contradiz o Teorema de Clairaut? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. Temos uma função
definida de duas maneiras: uma para quando
e outra quando
. A gente vai precisar calcular as derivadas parciais
e
, além de explorar derivadas de segunda ordem e verificar o Teorema de Clairaut. Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, especialmente a regra do quociente.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): determinar
e
quando
. A função é dada por:
Para encontrar as derivadas parciais, vamos aplicar a regra do quociente, que é:
onde
e
.
Passo 3
Primeiro, calculamos
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Simplificando a expressão para
:
Expande o numerador:
Subtraindo:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular
usando a mesma abordagem:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Simplificando a expressão para
:
Expande o numerador:
Subtraindo:
Portanto:
Passo 7
Agora, passando para a parte (b): determinar
e
. Para isso, vamos usar a definição das derivadas parciais no ponto
:
Sabemos que
.
Passo 8
Calculando
:
Passo 9
Calculando
:
Passo 10
Agora, para a parte ©: mostrar que
e
. Vamos calcular essas derivadas de segunda ordem usando as definições de derivadas parciais.
Primeiro,
avaliado em
.
Passo 11
Calculando
:
Usamos a definição:
Sabemos que
, então precisamos encontrar
.
Passo 12
Calculando
:
Usamos a expressão de
para
:
Então:
Passo 13
Agora, calculando
:
Usamos a definição:
Sabemos que
, então precisamos encontrar
.
Passo 14
Calculando
:
Usamos a expressão de
para
:
Então:
Passo 15
Finalmente, para a parte (d): verificar se os resultados de
e
contradizem o Teorema de Clairaut. Esse teorema afirma que, se as derivadas de segunda ordem são contínuas em uma vizinhança do ponto, então
.
Passo 16
No nosso caso,
, ou seja,
. Isso indica que as derivadas de segunda ordem não são cont��nuas no ponto
, fazendo com que o Teorema de Clairaut não se aplique aqui. Portanto, não há contradição com o teorema, pois as condições para o teorema não são atendidas.
Resposta
(a) As derivadas parciais são:
(b)
e
.
©
e
.
(d) Não, o resultado não contradiz o Teorema de Clairaut porque as derivadas de segunda ordem não são contínuas no ponto
, condição necessária para o teorema.