Seja f(x, y) = { (x^3 y - x y^3) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }
(a) Determine f_x(x, y) e f_y(x, y) quando (x, y) != 0 (0,0);
(b) Determine fx(0,0) e f_y(0,0);
© Mostre que f_xy(0,0)=-1 e f_yx(0,0) = 1;
(d) O resultado no item anterior contradiz o Teorema de Clairaut? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. Temos uma função definida de duas maneiras: uma para quando e outra quando . A gente vai precisar calcular as derivadas parciais e , além de explorar derivadas de segunda ordem e verificar o Teorema de Clairaut. Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, especialmente a regra do quociente.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): determinar e quando . A função é dada por:
Para encontrar as derivadas parciais, vamos aplicar a regra do quociente, que é:
onde e .

Passo 3

Primeiro, calculamos :
Aplicando a regra do quociente:

Passo 4

Simplificando a expressão para :
Expande o numerador:
Subtraindo:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular usando a mesma abordagem:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Simplificando a expressão para :
Expande o numerador:
Subtraindo:
Portanto:

Passo 7

Agora, passando para a parte (b): determinar e . Para isso, vamos usar a definição das derivadas parciais no ponto :
Sabemos que .

Passo 8

Calculando :

Passo 9

Calculando :

Passo 10

Agora, para a parte ©: mostrar que e . Vamos calcular essas derivadas de segunda ordem usando as definições de derivadas parciais.
Primeiro, avaliado em .

Passo 11

Calculando :
Usamos a definição:
Sabemos que , então precisamos encontrar .

Passo 12

Calculando :
Usamos a expressão de para :
Então:

Passo 13

Agora, calculando :
Usamos a definição:
Sabemos que , então precisamos encontrar .

Passo 14

Calculando :
Usamos a expressão de para :
Então:

Passo 15

Finalmente, para a parte (d): verificar se os resultados de e contradizem o Teorema de Clairaut. Esse teorema afirma que, se as derivadas de segunda ordem são contínuas em uma vizinhança do ponto, então .

Passo 16

No nosso caso, , ou seja, . Isso indica que as derivadas de segunda ordem não são cont��nuas no ponto , fazendo com que o Teorema de Clairaut não se aplique aqui. Portanto, não há contradição com o teorema, pois as condições para o teorema não são atendidas.

Resposta

(a) As derivadas parciais são:
(b) e .
© e .
(d) Não, o resultado não contradiz o Teorema de Clairaut porque as derivadas de segunda ordem não são contínuas no ponto , condição necessária para o teorema.

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