Resolva os seguintes itens:
Calcule a área A da região delimitada pelo gráfico de f(x)=1raizx e o eixo x, com x in[1, b].

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a área $ A $ da região que está delimitada pelo gráfico da função $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $ e pelo eixo $ x $, no intervalo de $ x $ de 1 até $ b $. Isso envolve conceitos de cálculo integral, que usamos para encontrar áreas sob curvas. Então, vamos precisar entender como montar e resolver uma integral definida para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que define a curva, que é $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $. Queremos calcular a área entre essa curva e o eixo $ x $ no intervalo de $ x = 1 $ até $ x = b $.

Passo 3

Para encontrar essa área, usamos a integral definida de $ f(x) $ de 1 até $ b $. A integral definida nos dá a área sob a curva entre esses dois pontos. A fórmula fica assim:
f(x)

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. Primeiro, reescrevemos $ \frac{1}{\sqrt{x}} $ como $ x^{-1/2} $ para facilitar o cálculo:
1raizx

Passo 5

Em seguida, aplicamos a regra da potência para integrar $ x^n $, que diz que:
x^n
onde $ C $ é a constante de integração. No nosso caso, $ n = -\frac{1}{2} $, então:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a $ b $:
b

Passo 7

Simplificando $ \sqrt{1} = 1 $, temos:
raiz1 = 1

Resposta

A área $ A $ da região delimitada pelo gráfico de $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $ e o eixo $ x $, no intervalo de $ x $ de 1 até $ b $, é:
A

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