Resolva os seguintes itens:
Calcule a área
da região delimitada pelo gráfico de
e o eixo
, com
.
Calcule a área
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área $ A $ da região que está delimitada pelo gráfico da função $ f(x) = \frac{1}{x^{2}} $ e pelo eixo $ x $, no intervalo onde $ x $ vai de 1 até $ b $. Para isso, vamos usar o cálculo integral, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular a área sob uma curva. Imagine que você tem a função $ f(x) = \frac{1}{x^{2}} $ desenhada num gráfico. A área que a gente quer encontrar está entre essa curva e o eixo $ x $, começando em $ x = 1 $ e indo até $ x = b $. Para calcular essa área, usamos a integral definida dessa função nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos montar a expressão da integral que representa essa área. A integral definida de $ f(x) $ de 1 até $ b $ é escrita assim:
Isso significa que estamos somando infinitamente pequenas fatias de área sob a curva de $ x = 1 $ até $ x = b $.
Passo 4
O próximo passo é encontrar a antiderivada de $ \frac{1}{x^{2}} $. Lembra que $ \frac{1}{x^{2}} $ pode ser reescrita como $ x^{-2} $. A regra para integrar $ x^{n} $ é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos calcular uma integral definida.
Passo 5
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 a $ b $ à antiderivada encontrada. Ou seja:
Simplificando:
Resposta
A área $ A $ da região delimitada pelo gráfico de $ f(x) = \frac{1}{x^{2}} $ e o eixo $ x $, no intervalo de $ x \in [1, b] $, é: