Seja y(x)=sumn=0^infty ann! x^n uma série de potências. Em cada um dos problemas abaixo, determine a relação de recorrência que an deve satisfazer para que y(x) seja uma solução da equação e escreva a série explicitando os seus 6 primeiros termos:
y^prime prime+x y^prime+2 y=0, y(0)=4, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para achar, por método de séries de potências, uma solução da equação
y'' + x,y' + 2,y = 0
sob a forma
y(x)=sumn=0^inftyann!x^n
com as condições iniciais y(0)=4 e y'(0)=-1.

Passo 2

Vamos escrever as derivadas em forma de séries:
y(x)=sumn=0^inftyann!x^n, y'(x)=sumn=0^inftyan+1n!x^n, y''(x)=sumn=0^inftyan+2n!x^n

Passo 3

O termo x,y' é
x,y'=sumn=0^inftyan+1n!x^n+1 =sumn=1^inftyan(n-1)!x^n
Agora somamos termo a termo e igualamos a zero o coeficiente de x^n. Para n=0
a20!+2a00!=0Longrightarrow a2=-2,a0
Para n>=1, multiplicando por n!, obtemos
an+2 + n,an + 2,an=0 Longrightarrow an+2=-(n+2),an

Passo 4

Das condições iniciais temos
y(0)=a0=4, y'(0)=a1=-1

Passo 5

Calcular os seis primeiros coeficientes ( n=0,1,dots,5) via an+2=-(n+2)an:
a0=4, a1=-1,
a2=-(0+2)a0=-2cdot4=-8, a3=-(1+2)a1=-3cdot(-1)=3,
a4=-(2+2)a2=-4cdot(-8)=32, a5=-(3+2)a3=-5cdot3=-15

Passo 6

Escrevendo os seis primeiros termos de
y(x)=sumn=0^inftyann!x^n
fica
y(x) = a00! + a11!x + a22!x^2 + a33!x^3 + a44!x^4 + a55!x^5 + cdots
y(x) =4 ;-; x ;-; 82x^2 ;+; 36x^3 ;+; 3224x^4 ;-; 15120x^5 + cdots
y(x)=4 ;-; x ;-;4x^2 ;+;tfrac12x^3 ;+;tfrac43x^4 ;-;tfrac18x^5 + cdots

Resposta

Relação de recorrência:
an+2=-(n+2),an, n>=0,
com a0=4, a1=-1.
Série com os seis primeiros termos:
y(x)=4 - x - 4x^2 + tfrac12x^3 + tfrac43x^4 - tfrac18x^5 + cdots

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