Seja y(x)=sumn=0^infty ann! x^n uma série de potências. Em cada um dos problemas abaixo, determine a relação de recorrência que an deve satisfazer para que y(x) seja uma solução da equação e escreva a série explicitando os seus 6 primeiros termos:
(2+x^2) y^prime prime-x y^prime+4 y=0, y(0)=-1, y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, via método de série de potências, a relação de recorrência que os coeficientes an devem satisfazer de modo que
(2+x^2)y'' - x y' +4y=0
tenha solução
y(x)=sumn=0^infty ann!x^n
com as condições iniciais y(0)=-1 e y'(0)=3. Vamos então expressar y, y' e y'' como séries, substituir na equação e igualar coeficientes de cada x^n.

Passo 2

Escrevemos as derivadas de y como séries em potências de x:
y(x)=sumn=0^inftyann!x^n, y'(x)=sumn=0^inftyan+1n!x^n, y''(x)=sumn=0^inftyan+2n!x^n

Passo 3

Substituindo em (2+x^2)y'' - x y' +4y=0 e coletando termos de mesma potência x^n, obtemos a condição
2,an+2n! ;+;underbracean+2n!x^2desloca para n+2 ;-;underbracean+1n!xdesloca para n+1 ;+;4,ann!=0
Ajustando os índices e multiplicando por n!, chega-se a
2,an+2 ;+;n(n-1),an ;-;n,an ;+;4,an ;=;0

Passo 4

Simplificando os coeficientes de an:
n(n-1)-n+4 = n^2-2n+4,
temos
2,an+2 +l(n^2-2n+4r),an =0 Longrightarrow an+2 = -n^2-2n+42;an,
válido para n>=0.

Passo 5

Usamos as condições iniciais
y(0)=a0=-1, y'(0)=a1=3,
e aplicamos a recorrência para obter os primeiros coeficientes:
n=0colon a2=-tfrac0^2-0+42a0=-2(-1)=2
n=1colon a3=-tfrac1-2+42a1=-tfrac32cdot3=-tfrac92
n=2colon a4=-tfrac4-4+42a2=-tfrac42cdot2=-4
n=3colon a5=-tfrac9-6+42a3=-tfrac72l(-tfrac92r)=tfrac634

Passo 6

Escrevendo os seis primeiros termos de
y(x)=sumn=0^infty ann!x^n
temos
y(x)=a0+a11!x+a22!x^2+a33!x^3+a44!x^4+a55!x^5+cdots
Substituindo os valores calculados:
y(x)=-1+3x+1,x^2-tfrac34x^3-tfrac16x^4+tfrac21160x^5+cdots

Resposta

Recorrência:
an+2=-n^2-2n+42,an, n>=0,
com a0=-1, a1=3.
Primeiros seis termos da série:
y(x)=-1+3x+x^2-tfrac34x^3-tfrac16x^4+tfrac21160x^5+cdots

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