Seja uma série de potências. Em cada um dos problemas abaixo, determine a relação de recorrência que deve satisfazer para que seja uma solução da equação e escreva a série explicitando os seus 6 primeiros termos:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, via método de série de potências, a relação de recorrência que os coeficientes devem satisfazer de modo que
tenha solução
com as condições iniciais e . Vamos então expressar , e como séries, substituir na equação e igualar coeficientes de cada .
Passo 2
Escrevemos as derivadas de como séries em potências de :
Passo 3
Substituindo em e coletando termos de mesma potência , obtemos a condição
Ajustando os índices e multiplicando por n!, chega-se a
e aplicamos a recorrência para obter os primeiros coeficientes: n=0colon a2=-tfrac0^2-0+42a0=-2(-1)=2 n=1colon a3=-tfrac1-2+42a1=-tfrac32cdot3=-tfrac92 n=2colon a4=-tfrac4-4+42a2=-tfrac42cdot2=-4 n=3colon a5=-tfrac9-6+42a3=-tfrac72l(-tfrac92r)=tfrac634