Resolva os seguintes itens:
Calcule a área da região no primeiro quadrante delimitada pelos eixos coordenados e a parábola
, com
.
Calcule a área da região no primeiro quadrante delimitada pelos eixos coordenados e a parábola
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a área da região que está no primeiro quadrante (onde
e
são positivos), delimitada pelos eixos coordenados (eixo
e eixo
) e pela parábola dada pela equação
, onde
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde a parábola intercepta os eixos coordenados. Essas interseções vão nos dar os limites de onde vamos calcular a área.
Interseção com o eixo
(onde
):
Resolvendo para
:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos apenas o valor positivo de
.
Interseção com o eixo
(onde
):
Substituindo
na equação da parábola:
Então, a parábola corta o eixo
no ponto
.
Passo 3
Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos definir a função a ser integrada. A área está entre
e
, e a parábola está acima dos eixos nesse intervalo. Portanto, a área
será dada pela integral da função
em relação a
nesse intervalo.
Passo 4
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, separamos a integral em partes mais simples:
Calculando cada parte:
- Integral de
em relação a :
- Integral de
em relação a :
Agora, substituímos os limites de integração:
Substituindo
:
Simplificando os termos:
Resposta
A área da região é
.