Resolva os seguintes itens:
Calcule a área da região no primeiro quadrante delimitada pelos eixos coordenados e a parábola y=1+a-a x^2, com a>0.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a área da região que está no primeiro quadrante (onde x e y são positivos), delimitada pelos eixos coordenados (eixo x e eixo y) e pela parábola dada pela equação y = 1 + a - a x^2, onde a > 0. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde a parábola intercepta os eixos coordenados. Essas interseções vão nos dar os limites de onde vamos calcular a área.
Interseção com o eixo x (onde y = 0):
0 = 1 + a - a x^2
Resolvendo para x:
a x^2 = 1 + a
x^2 = 1 + aa
x = raiz1 + aa
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos apenas o valor positivo de x.
Interseção com o eixo y (onde x = 0):
Substituindo x = 0 na equação da parábola:
y = 1 + a - a cdot 0 = 1 + a
Então, a parábola corta o eixo y no ponto (0, 1 + a).

Passo 3

Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos definir a função a ser integrada. A área está entre x = 0 e x = raiz1 + aa, e a parábola está acima dos eixos nesse intervalo. Portanto, a área A será dada pela integral da função y em relação a x nesse intervalo.
A = integral0^raiz1 + aa (1 + a - a x^2) , dx

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, separamos a integral em partes mais simples:
A = integral0^raiz1 + aa (1 + a) , dx - a integral0^raiz1 + aa x^2 , dx
Calculando cada parte:
  1. Integral de (1 + a) em relação a x:
integral (1 + a) , dx = (1 + a) x
  1. Integral de x^2 em relação a x:
integral x^2 , dx = x^33
Agora, substituímos os limites de integração:
A = [(1 + a) x - a3 x^3]0^raiz1 + aa
Substituindo x = raiz1 + aa:
A = (1 + a) raiz1 + aa - a3 (raiz1 + aa)^3
Simplificando os termos:
A = (1 + a) cdot raiz1 + araiza - a3 cdot (1 + a)^3/2a^3/2
A = (1 + a)^3/2raiza - 13 cdot (1 + a)^3/2raiza
A = (1 - 13) cdot (1 + a)^3/2raiza
A = 23 cdot (1 + a)^3/2raiza

Resposta

A área da região é 2(1 + a)^3/23 raiza.

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