Seja a>0, b>0, e n um inteiro positivo. Um retângulo com lados paralelos aos eixos coordenados tem um vértice na origem e o vértice oposto na curva y=b x^n em um ponto onde x=a. Calcule a área da parte do retângulo que está abaixo da curva. Mostre que a razão entre essa área e a área total do retângulo é independente de a e b, e depende somente de n.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a parada aqui. A gente tem um retângulo que tem um dos cantos na origem (0,0) e o canto oposto está em um ponto na curva $ y = b x^{n} $ quando $ x = a $. A gente precisa calcular a área dessa parte do retângulo que está por baixo da curva e depois mostrar que a razão entre essa área e a área total do retângulo não depende de $ a $ e $ b $, apenas de $ n $. Vamos usar conceitos de área de figuras e integrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o cenário. O retângulo tem lados paralelos aos eixos, então os quatro cantos são:
  • Origem: $ (0,0) $
  • $ (a,0) $
  • $ (0, b a^{n}) $ porque quando $ x = a $, $ y = b a^{n} $
  • $ (a, b a^{n}) $
A área total do retângulo é simplesmente a base vezes a altura:
(0,0) Á

Passo 3

Agora, precisamos calcular a área que está por baixo da curva $ y = b x^{n} $ dentro do retângulo. Esse tipo de área a gente encontra usando a integral definida. A integral de $ y $ de $ x = 0 $ até $ x = a $ vai dar a área sob a curva:
y = b x^n Á

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo. A constante $ b $ pode sair da integral:
b
A integral de $ x^{n} $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $, então:
integral0^a b x^n , dx = b integral0^a x^n , dx
Então, a área por baixo da curva é $ \frac{b a^{n+1}}{n+1} $.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a razão entre essa área e a área total do retângulo:
Razão = Área sob a curvaÁrea Total = b a^n+1n+1a^n+1 b ãÁÁ

Passo 6

Simplificando a fração:
b a^n+1n+1a^n+1 b = b a^n+1n+1 times 1a^n+1 b = 1n+1
Viu só? Os termos $ b a^{n+1} $ se cancelam, e a razão fica apenas $ \frac{1}{n+1} $.

Resposta

A razão entre a área abaixo da curva e a área total do retângulo é $ \frac{1}{n+1} $, ou seja, depende somente de $ n $ e não de $ a $ nem de $ b $.

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