Seja
uma série de potências. Em cada um dos problemas abaixo, determine a relação de recorrência que
deve satisfazer para que
seja uma solução da equação e escreva a série explicitando os seus 6 primeiros termos:
Passo 1
O enunciado pede a solução em série de potências da equação
com condições iniciais
e
.
Vamos usar o método de séries de potências, escrevendo
Vamos usar o método de séries de potências, escrevendo
calcular
e
, substituir na equação e igualar coeficientes de
para obter a relação de recorrência entre os
. Depois aplicamos as condições iniciais para achar explicitamente os seis primeiros termos da série.
Passo 2
Calculamos as derivadas de
termo a termo:
Também
Substituindo em
e agrupando pelo mesmo grau
, obtemos para
e para
Passo 3
Multiplicando a relação para
por
dá
Para
temos
, que é o caso particular de
. Assim a fórmula vale para todo
.
Passo 4
Usando
e
, e a recorrência
, calculamos:
Passo 5
A série fica
que simplifica nos seis primeiros termos para
Resposta
Relação de recorrência:
Série com os seis primeiros termos: