Seja y(x)=sumn=0^infty ann! x^n uma série de potências. Em cada um dos problemas abaixo, determine a relação de recorrência que an deve satisfazer para que y(x) seja uma solução da equação e escreva a série explicitando os seus 6 primeiros termos:
y^prime prime-x y^prime-y=0, y(0)=2, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências da equação
y''-xy'-y=0
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=1.
Vamos usar o método de séries de potências, escrevendo
y(x)=sumn=0^inftyann!x^n,
calcular y' e y'', substituir na equação e igualar coeficientes de x^n para obter a relação de recorrência entre os an. Depois aplicamos as condições iniciais para achar explicitamente os seis primeiros termos da série.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y termo a termo:
y'(x)=sumn=0^inftyan+1n!x^n, y''(x)=sumn=0^inftyan+2n!x^n
Também
x,y'(x)=sumn=0^inftyan+1n!x^n+1 =sumn=1^inftyan(n-1)!x^n
Substituindo em y''-xy'-y=0 e agrupando pelo mesmo grau x^n, obtemos para n>=1
an+2n!-an(n-1)!-ann!=0,
e para n=0
a20!-a00!=0

Passo 3

Multiplicando a relação para n>=1 por n!
an+2-n,an-an=0 Longrightarrow an+2=(n+1),an
Para n=0 temos a2=a0, que é o caso particular de ,a2=(0+1)a0. Assim a fórmula vale para todo n>=0.

Passo 4

Usando a0=y(0)=2 e a1=y'(0)=1, e a recorrência an+2=(n+1)an, calculamos:
a2&=(0+1)a0=2, a3&=(1+1)a1=2, a4&=(2+1)a2=3cdot2=6, a5&=(3+1)a3=4cdot2=8

Passo 5

A série fica
y(x)=sumn=0^inftyann!x^n =2+;1cdot x+22!x^2+23!x^3+64!x^4+85!x^5+cdots
que simplifica nos seis primeiros termos para
y(x)=2+x+x^2+x^33+x^44+x^515+cdots

Resposta

Relação de recorrência:
an+2=(n+1),an, n>=0
Série com os seis primeiros termos:
y(x)=2+x+x^2+x^33+x^44+x^515+cdots

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