Resolva os seguintes limites:
(g) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sin (x)^{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0^{+}}\sin(x)^{\sqrt{x}}.
O conteúdo envolve limites de forma potencialmente indeterminada 0^0. Vamos usar a transformação de logaritmo para reescrever a expressão de modo a avaliar o limite do expoente.

Passo 2

Defina
y = \sin(x)^{\sqrt{x}}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
\ln y = \sqrt{x}\,\ln\bigl(\sin(x)\bigr).
O limite original será y = \exp\bigl(\lim \ln y\bigr), desde que \lim \ln y exista finito.

Passo 3

Precisamos de
\lim_{x\to0^{+}}\sqrt{x}\,\ln\bigl(\sin(x)\bigr).
Para x pequeno, \sin(x)\approx x, logo
\ln\bigl(\sin(x)\bigr)\sim\ln(x).
Portanto
\sqrt{x}\,\ln\bigl(\sin(x)\bigr)\sim\sqrt{x}\,\ln(x).
Faça a mudança de variável x=t^2, com t\to0^+. Então \sqrt{x}=t e
\sqrt{x}\,\ln(x)=t\ln(t^2)=2\,t\ln(t).
Como t\ln(t)\to0 quando t\to0^+, segue que
\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}\,\ln\bigl(\sin(x)\bigr)=0.

Passo 4

Concluindo, \lim \ln y=0, logo
\lim_{x\to0^{+}}y =\lim_{x\to0^{+}}\sin(x)^{\sqrt{x}} =e^0 =1.

Resposta

1

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