Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
Para r(x, y)=x{3}+y{3}, determine rxx, ryy e rxy.

Passo 1

O enunciado dá a função \;r(x,y)=x^{3}+y^{3}\; e pede para determinar as segundas derivadas parciais \;r_{xx},\;r_{yy} e \;r_{xy}.
Informações relevantes que temos:
  • A função é \;r(x,y)=x^{3}+y^{3}.
  • Precisamos das segundas derivadas parciais: primeiro calculamos as primeiras derivadas parciais \;r_x e \;r_y, depois derivamos novamente conforme necessário.

Passo 2

Lembrete didático rápido sobre derivadas parciais (modo amigo, sem pânico):
  • A derivada parcial \;r_x\; é a derivada de \;r\; em relação a \;x\; mantendo \;y\; constante.
  • A derivada parcial \;r_y\; é a derivada de \;r\; em relação a \;y\; mantendo \;x\; constante.
Regra básica que vamos usar (regra do poder/potência):
  • Se f(t)=t^{n}, então f'(t)=n\,t^{n-1}.
  • Se temos uma soma, derivamos termo a termo.
  • Se um termo não depende da variável em relação à qual derivamos, sua derivada é \;0\;.

Passo 3

Calculando \;r_x\; (derivada parcial de \;r\; em relação a \;x\;, com \;y\; tratado como constante).
A função é \;r(x,y)=x^{3}+y^{3}.
  • Derivada de \;x^{3} em relação a \;x é \;3x^{2} pela regra do poder.
  • Derivada de \;y^{3} em relação a \;x é \;0 porque \;y\; é considerado constante ao derivar por \;x.
Portanto, isoladamente (mostrando a conta):
r_x = 3x^{2} + 0 = 3x^{2}.

Passo 4

Calculando \;r_y\; (derivada parcial de \;r\; em relação a \;y\;, com \;x\; tratado como constante).
A função é \;r(x,y)=x^{3}+y^{3}.
  • Derivada de \;x^{3} em relação a \;y é \;0 (pois \;x\; é constante).
  • Derivada de \;y^{3} em relação a \;y é \;3y^{2}.
Logo:
r_y = 0 + 3y^{2} = 3y^{2}.

Passo 5

Agora a segunda derivada \;r_{xx}\; é a derivada de \;r_x\; em relação a \;x\; (novamente mantendo \;y\; constante).
Temos \;r_x = 3x^{2}.
Aplicando a regra do poder:
  • Derivada de \;3x^{2} em relação a \;x é \;3\cdot 2 x^{1} = 6x.
Portanto:
r_{xx} = 6x.

Passo 6

A segunda derivada \;r_{yy}\; é a derivada de \;r_y\; em relação a \;y\;.
Temos \;r_y = 3y^{2}.
Aplicando a regra do poder:
  • Derivada de \;3y^{2} em relação a \;y é \;3\cdot 2 y^{1} = 6y.
Logo:
r_{yy} = 6y.

Passo 7

A derivada mista \;r_{xy}\; é a derivada de \;r_x\; em relação a \;y\;.
Temos \;r_x = 3x^{2}, que não depende de \;y.
  • Derivada em relação a \;y de uma função que não depende de \;y é \;0.
Assim:
r_{xy} = 0.
Observação didática breve: aqui também vale que \;r_{yx}=0\; (derivando \;r_y em relação a \;x dá 0). Como a função é polinomial (suave), as derivadas mistas são iguais — é o teorema de Clairaut — e ambas valem \;0.

Resposta

r_{xx}=6x
r_{yy}=6y
r_{xy}=0

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