Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
Para r(x, y)=x{3}+y{3}, determine rxx, ryy e rxy.
Para r(x, y)=x{3}+y{3}, determine rxx, ryy e rxy.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar as segundas derivadas parciais
e
.
Informações relevantes que temos:
- A função é
. - Precisamos das segundas derivadas parciais: primeiro calculamos as primeiras derivadas parciais
e , depois derivamos novamente conforme necessário.
Passo 2
Lembrete didático rápido sobre derivadas parciais (modo amigo, sem pânico):
- A derivada parcial
é a derivada de em relação a mantendo constante. - A derivada parcial
é a derivada de em relação a mantendo constante.
Regra básica que vamos usar (regra do poder/potência):
- Se
, então . - Se temos uma soma, derivamos termo a termo.
- Se um termo não depende da variável em relação à qual derivamos, sua derivada é
.
Passo 3
Calculando
(derivada parcial de
em relação a
, com
tratado como constante).
A função é
.
- Derivada de
em relação a é pela regra do poder. - Derivada de
em relação a é porque é considerado constante ao derivar por .
Portanto, isoladamente (mostrando a conta):
Passo 4
Calculando
(derivada parcial de
em relação a
, com
tratado como constante).
A função é
.
- Derivada de
em relação a é (pois é constante). - Derivada de
em relação a é .
Logo:
Passo 5
Agora a segunda derivada
é a derivada de
em relação a
(novamente mantendo
constante).
Temos
.
Aplicando a regra do poder:
Aplicando a regra do poder:
- Derivada de
em relação a é .
Portanto:
Passo 6
A segunda derivada
é a derivada de
em relação a
.
Temos
.
Aplicando a regra do poder:
Aplicando a regra do poder:
- Derivada de
em relação a é .
Logo:
Passo 7
A derivada mista
é a derivada de
em relação a
.
Temos
, que não depende de
.
- Derivada em relação a
de uma função que não depende de é .
Assim:
Observação didática breve: aqui também vale que
(derivando
em relação a
dá 0). Como a função é polinomial (suave), as derivadas mistas são iguais — é o teorema de Clairaut — e ambas valem
.