Resolva os seguintes problemas, mostrando todos os cálculos intermediários e identificando o caso de frações parciais utilizado:
(Função imprópria) Calcule integral x^4+3 x^2+1x^3+x d x .

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^4+3x^2+1x^3+x,dx,
que é uma integral de função imprópria (grau do numerador >= grau do denominador). O conteúdo principal é divisão de polinômios e decomposição em frações parciais, usando fatores lineares e quadráticos irreduzíveis.

Passo 2

Primeiro fazemos a divisão de polinômios para reduzir o grau:
Dividindo x^4+3x^2+1 por x^3+x, obtemos quociente x e resto 2x^2+1. Logo,
x^4+3x^2+1x^3+x = x + 2x^2+1x(x^2+1)

Passo 3

Agora fatoramos o denominador do resto:
que tem um fator linear
Multiplicando por
Comparando coeficientes obtemos
logo , . Portanto

Passo 4

Substituindo de volta na integral:
integral x^4+3x^2+1x^3+x,dx = integral l(x + 1x + xx^2+1r),dx
Integramos termo a termo:
integral x,dx = x^22, integral 1x,dx = lnlvert xrvert, integral xx^2+1,dx
fazemos u = x^2+1, du = 2x,dx, então
integral xx^2+1,dx = 12integral duu = 12lnl(x^2+1r)

Resposta

boxedintegral x^4+3x^2+1x^3+x,dx = x^22 + lnlvert xrvert + 12lnl(x^2+1r) + C

Exercícios relacionados