Resolva os seguintes problemas, mostrando todos os cálculos intermediários e identificando o caso de frações parciais utilizado:
(Função imprópria) Calcule .
Passo 1
O enunciado pede para calcular
que é uma integral de função imprópria (grau do numerador grau do denominador). O conteúdo principal é divisão de polinômios e decomposição em frações parciais, usando fatores lineares e quadráticos irreduzíveis.
Passo 2
Primeiro fazemos a divisão de polinômios para reduzir o grau:
Dividindo por , obtemos quociente e resto . Logo,
Passo 3
Agora fatoramos o denominador do resto:
que tem um fator linear
Multiplicando por dá
Comparando coeficientes obtemos
logo , . Portanto
Passo 4
Substituindo de volta na integral:
integral x^4+3x^2+1x^3+x,dx = integral l(x + 1x + xx^2+1r),dx
Integramos termo a termo:
integral x,dx = x^22, integral 1x,dx = lnlvert xrvert, integral xx^2+1,dx
fazemos u = x^2+1, du = 2x,dx, então
integral xx^2+1,dx = 12integral duu = 12lnl(x^2+1r)