Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
integral 1+cos (a x)2 d x=x2+sen(a x)2 a+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a seguinte igualdade de primitiva é correta:
integral 1+cos(ax)2,dx = x2 + sin(ax)2a + C
O conteúdo envolvido é a verificação de uma integral indefinida por meio da derivação da função proposta como primitiva.

Passo 2

Vamos derivar o lado direito e ver se recuperamos o integrando. Usamos a linearidade da derivada e a regra da cadeia:
ddx!l(tfracx2 + tfracsin(ax)2ar) = ddx!l(tfracx2r) + ddx!l(tfracsin(ax)2ar)
Calculando cada termo,
ddx!l(tfracx2r)=tfrac12, ddx!l(tfracsin(ax)2ar) =12acdot acos(ax) =tfraccos(ax)2
Somando, obtemos
tfrac12 + tfraccos(ax)2 = 1+cos(ax)2,
que é exatamente o integrando.

Passo 3

Como a derivada da função proposta coincide com tfrac1+cos(ax)2, concluímos que a primitiva estava correta salvo a constante de integração.

Resposta

A igualdade é válida.

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