Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de substituição verificar as seguintes integrais.
integral d xx^2+2 x+5=12 arctg(x+12)+c

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a igualdade
integral dxx^2+2x+5 = 12 arctan!l(x+12r) + C
é correta. O conteúdo envolvido é integração de uma função racional quadrática, que resolvemos completando o quadrado e usando substituição para chegar à forma de uma integral padrão de 11+u^2.

Passo 2

Completar o quadrado no denominador:
x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x+12,
logo
x+1 = 2u e dx = 2,du

Passo 4

Reescrevendo a integral em u:
integral dx(x+1)^2+4 = integral 2,du(2u)^2 + 4 = integral 2,du4(u^2+1) = 12 integral duu^2+1 = 12 arctan(u) + C

Passo 5

Voltando à variável x usando u=(x+1)/2, obtemos
integral dxx^2+2x+5 = 12 arctan!l(x+12r) + C,
que coincide exatamente com a igualdade proposta.

Resposta

A igualdade é válida.

Exercícios relacionados