Resolva os seguintes problemas utilizando as técnicas de representação de funções como séries de potências (manipulação de séries geométricas, derivação e integração termo a termo). Encontre o raio e o intervalo de convergência quando solicitado.
Encontre uma representação em série de potências para f(x)=\frac{x^{2}}{4+x} e determine o seu intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado quer que a gente escreva
f(x)=\frac{x^2}{4+x}
como uma série de potências centrada em zero, usando manipulação de séries geométricas, e depois determine o raio e o intervalo de convergência. Para isso precisamos lembrar da série geométrica
portanto o raio de convergência é R=4 e o intervalo de convergência é (-4,4). Nos extremos x=\pm4 os termos gerais não tendem a zero, logo a série diverge ali.