Resolva os seguintes problemas utilizando as técnicas de representação de funções como séries de potências (manipulação de séries geométricas, derivação e integração termo a termo). Encontre o raio e o intervalo de convergência quando solicitado.
Encontre uma representação em série de potências para f(x)=\frac{x^{2}}{4+x} e determine o seu intervalo de convergência.

Passo 1

O enunciado quer que a gente escreva
f(x)=\frac{x^2}{4+x}
como uma série de potências centrada em zero, usando manipulação de séries geométricas, e depois determine o raio e o intervalo de convergência. Para isso precisamos lembrar da série geométrica
\frac{1}{1-r} \;=\;\sum_{n=0}^\infty r^n,\quad |r|<1,
e aplicá-la de forma apropriada.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos
f(x)=\frac{x^2}{4+x} =\frac{x^2}{4}\,\frac{1}{1+ \tfrac{x}{4}} =\frac{x^2}{4}\,\frac{1}{1-(-\tfrac{x}{4})}.
Aqui identificamos r=-\tfrac{x}{4}.

Passo 3

Substituindo na série geométrica obtemos, para \bigl|\tfrac{x}{4}\bigr|<1,
\frac{1}{1+ \tfrac{x}{4}} =\sum_{n=0}^\infty \Bigl(-\tfrac{x}{4}\Bigr)^n =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^n}{4^n}.
Multiplicando por \tfrac{x^2}{4}
f(x) =\frac{x^2}{4}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^n}{4^n} =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+2}}{4^{\,n+1}}.

Passo 4

A condição de convergência é
\Bigl|\tfrac{x}{4}\Bigr|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<4,
portanto o raio de convergência é R=4 e o intervalo de convergência é (-4,4). Nos extremos x=\pm4 os termos gerais não tendem a zero, logo a série diverge ali.

Resposta

A representação em série de potências de f(x) é
f(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+2}}{4^{\,n+1}},
com raio de convergência R=4 e intervalo de convergência (-4,4).

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