Resolva os seguintes problemas utilizando as técnicas de representação de funções como séries de potências (manipulação de séries geométricas, derivação e integração termo a termo). Encontre o raio e o intervalo de convergência quando solicitado.
Use a derivação ou integração termo a termo para encontrar uma representação em série de potências para f(x)=\frac{1}{(1-x)^{3}}\\. Qual é o raio de convergência?éê

Passo 1

O enunciado pede para achar uma representação em série de potências para
f(x)=\frac{1}{(1-x)^{3}}
usando derivação ou integração termo a termo de séries geométricas. O conteúdo chave é conhecer a série geométrica
\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n},\quad |x|<1,
e aplicar derivação sucessiva para elevar o expoente no denominador.

Passo 2

Começamos com a série geométrica conhecida:
\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n},\quad |x|<1.
Derivando termo a termo em relação a x, temos
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{1-x}\Bigr) =\frac{1}{(1-x)^{2}} \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\Bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1}.
Logo
\frac{1}{(1-x)^{2}} =\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1}.

Passo 3

Reescrevemos a série de \tfrac1{(1-x)^{2}} com índice começando em zero. Seja k=n-1, então n=k+1 e
\frac{1}{(1-x)^{2}} =\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)\,x^{k}.

Passo 4

Derivamos novamente termo a termo para elevar o expoente no denominador de 2 para 3. De um lado,
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{(1-x)^{2}}\Bigr) =\frac{2}{(1-x)^{3}}.
Do outro,
\frac{d}{dx}\Bigl(\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)\,x^{k}\Bigr) =\sum_{k=1}^{\infty}(k+1)\,k\,x^{k-1} =\sum_{m=0}^{\infty}(m+2)(m+1)\,x^{m},
onde fizemos m=k-1. Portanto
\frac{2}{(1-x)^{3}} =\sum_{m=0}^{\infty}(m+2)(m+1)\,x^{m},
e isolando \tfrac1{(1-x)^3} obtemos
\frac{1}{(1-x)^{3}} =\frac{1}{2}\sum_{m=0}^{\infty}(m+2)(m+1)\,x^{m}.

Passo 5

Substituindo m por n na notação usual, a série de potências final fica
\frac{1}{(1-x)^{3}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}\,x^{n},\quad |x|<1.
O raio de convergência é R=1.

Resposta

\frac{1}{(1-x)^{3}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}\,x^{n},\quad R=1.

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