Resolva os seguintes problemas utilizando as técnicas de representação de funções como séries de potências (manipulação de séries geométricas, derivação e integração termo a termo). Encontre o raio e o intervalo de convergência quando solicitado.
Use a derivação ou integração termo a termo para encontrar uma representação em série de potências para
Use a derivação ou integração termo a termo para encontrar uma representação em série de potências para
Passo 1
O enunciado pede para achar uma representação em série de potências para
usando derivação ou integração termo a termo de séries geométricas. O conteúdo chave é conhecer a série geométrica
e aplicar derivação sucessiva para elevar o expoente no denominador.
Passo 2
Começamos com a série geométrica conhecida:
Derivando termo a termo em relação a
, temos
Logo
Passo 3
Reescrevemos a série de
com índice começando em zero. Seja
, então
e
Passo 4
Derivamos novamente termo a termo para elevar o expoente no denominador de 2 para 3. De um lado,
Do outro,
onde fizemos
. Portanto
e isolando
obtemos
Passo 5
Substituindo
por
na notação usual, a série de potências final fica
O raio de convergência é
.