Resolva os seguintes problemas utilizando as técnicas de representação de funções como séries de potências (manipulação de séries geométricas, derivação e integração termo a termo). Encontre o raio e o intervalo de convergência quando solicitado.
Calcule a integral indefinida \int \frac{t}{1+t^{8}} d t como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \int \frac{t}{1+t^{8}}\,dt por meio de séries de potências e determinar o raio de convergência.
Vamos usar a manipulação de séries geométricas para representar \frac{1}{1+t^{8}} e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Para |t^{8}|<1 (ou seja |t|<1), usamos a série geométrica
\frac{1}{1+t^{8}} \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{8n}\,.

Passo 3

Multiplicando a série por t, obtemos a expansão da função a integrar:
\frac{t}{1+t^{8}} \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{8n+1}\,.

Passo 4

Integramos termo a termo, usando \displaystyle \int t^{m}\,dt = \frac{t^{m+1}}{m+1}:
\int \frac{t}{1+t^{8}}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int t^{8n+1}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{8n+2}}{8n+2}+C.

Passo 5

A série original converge para |t|<1, e a integração termo a termo mantém o mesmo raio de convergência 1.

Resposta

\int \frac{t}{1+t^{8}}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{8n+2}}{8n+2}+C,
raio de convergência: 1.

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