Resolva os seguintes problemas utilizando as técnicas de representação de funções como séries de potências (manipulação de séries geométricas, derivação e integração termo a termo). Encontre o raio e o intervalo de convergência quando solicitado.
Calcule a integral indefinida
como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Calcule a integral indefinida
Passo 1
O enunciado pede calcular
por meio de séries de potências e determinar o raio de convergência.
Vamos usar a manipulação de séries geométricas para representar e depois integrar termo a termo.
Vamos usar a manipulação de séries geométricas para representar
Passo 2
Para
(ou seja
), usamos a série geométrica
Passo 3
Multiplicando a série por
, obtemos a expansão da função a integrar:
Passo 4
Integramos termo a termo, usando
:
Passo 5
A série original converge para
, e a integração termo a termo mantém o mesmo raio de convergência
.
Resposta
raio de convergência:
.