Resolva os seguintes problemas utilizando as técnicas de representação de funções como séries de potências (manipulação de séries geométricas, derivação e integração termo a termo). Encontre o raio e o intervalo de convergência quando solicitado.
Use uma série de potências para aproximar a integral definida
com precisão de cinco casas decimais.
Use uma série de potências para aproximar a integral definida
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
com precisão de cinco casas decimais, usando séries de potências. O conteúdo principal é expandir
como série geométrica alternada para
, integrar termo a termo e usar o critério de resto da série alternada para estimar o erro.
Passo 2
Para
temos a expansão geométrica
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
, o que inclui nosso intervalo de integração
.
Passo 3
Integramos termo a termo em
:
Passo 4
Note que é uma série alternada com termos em valor absoluto decrescentes. Pelo critério do resto da série alternada, o erro ao truncar após
é no máximo o módulo do termo
:
Queremos esse erro menor que
. Para
o próximo termo
é
logo basta somar
e
.
Passo 5
Calculamos a soma parcial para
e
:
Como o erro é menor que
, ao arredondar para cinco casas decimais temos
Resposta
0,29997