Resolva os seguintes problemas utilizando as técnicas de representação de funções como séries de potências (manipulação de séries geométricas, derivação e integração termo a termo). Encontre o raio e o intervalo de convergência quando solicitado.
Use uma série de potências para aproximar a integral definida \int_{0}^{0.3} \frac{1}{1+x^{6}} d x com precisão de cinco casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{0}^{0.3}\frac{1}{1+x^{6}}\,dx
com precisão de cinco casas decimais, usando séries de potências. O conteúdo principal é expandir \frac{1}{1+x^{6}} como série geométrica alternada para |x|<1, integrar termo a termo e usar o critério de resto da série alternada para estimar o erro.

Passo 2

Para |x|<1 temos a expansão geométrica
\frac{1}{1+x^{6}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{6n}.
O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é (-1,1), o que inclui nosso intervalo de integração [0,0.3].

Passo 3

Integramos termo a termo em [0,0.3]:
\int_{0}^{0.3}\frac{1}{1+x^{6}}\,dx =\int_{0}^{0.3}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{6n}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int_{0}^{0.3}x^{6n}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{0.3^{6n+1}}{6n+1}.

Passo 4

Note que é uma série alternada com termos em valor absoluto decrescentes. Pelo critério do resto da série alternada, o erro ao truncar após n=N é no máximo o módulo do termo n=N+1:
\left|\text{erro}\right|\le\frac{0.3^{6(N+1)+1}}{6(N+1)+1}.
Queremos esse erro menor que 10^{-5}. Para N=1 o próximo termo n=2 é
\frac{0.3^{13}}{13}\approx1{,}2\times10^{-8}<10^{-5},
logo basta somar n=0 e n=1.

Passo 5

Calculamos a soma parcial para n=0 e n=1:
S_{1} =\frac{0.3^{1}}{1}-\frac{0.3^{7}}{7} =0.3-\frac{0.0002187}{7} \approx0.3000000-0.0000312429 \approx0.2999687571.
Como o erro é menor que 10^{-5}, ao arredondar para cinco casas decimais temos
\int_{0}^{0.3}\frac{1}{1+x^{6}}\,dx\approx0.29997.

Resposta

0,29997

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