Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y^prime prime+3 y^prime+2 y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=1, f(t)=cc0, & 0 <= t<pi 3, & pi <= t<2 pi 0, & 2 pi <= t

Passo 1

Temos a EDO não–homogênea de segunda ordem
com condições iniciais
O conteúdo aqui é resolver uma EDO linear com coeficientes constantes por solução geral homogênea mais particular em cada intervalo, impondo continuidade de nos pontos de quebra e .

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''+3y'+2y=0,
com polinômio característico lambda^2+3lambda+2=0, raízes lambda=-1,-2. Logo
yh(t)=C,e^-t+D,e^-2t
Para forçamento constante f=F a particular é constante yp=A, e
2A=Fimplies A=F2

Passo 3

Intervalo 0<= t<pi, temos f(t)=0. Então
y1(t)=C1e^-t+D1e^-2t
Em t=0:
y1(0)=C1+D1=0, y1'(0)=-C1-2D1=1
Resolvendo, C1=1, D1=-1. Assim
y1(t)=e^-t-e^-2t, 0<= t<pi

Passo 4

Intervalo pi<= t<2pi, temos f(t)=3. Então
y2(t)=32+C2e^-t+D2e^-2t
Em t=pi impomos continuidade de y e y':
y2(pi)=y1(pi), y2'(pi)=y1'(pi)
Como
y1(pi)=e^-pi-e^-2pi, y1'(pi)=-e^-pi+2e^-2pi,
a resolução dá
C2=1-3e^pi, D2=32e^2pi-1
Logo
y2(t)=32+l(1-3e^pir)e^-t +l(tfrac32e^2pi-1r)e^-2t, pi<= t<2pi

Passo 5

Para t>=2pi, f(t)=0 de novo. Escrevemos
y3(t)=C3e^-t+D3e^-2t,
e em t=2pi impomos
y3(2pi)=y2(2pi), y3'(2pi)=y2'(2pi)
Calculando y2(2pi) e y2'(2pi) e resolvendo, obtém–se
C3=3e^2pi-3e^pi+1, D3=-tfrac32e^4pi+tfrac32e^2pi-1
Portanto, para t>=2pi,
y3(t)=l(3e^2pi-3e^pi+1r)e^-t +l(-tfrac32e^4pi+tfrac32e^2pi-1r)e^-2t

Resposta

y(t)= e^-t-e^-2t,&0<= t<pi,[6pt] dfrac32+l(1-3e^pir)e^-t +l(tfrac32e^2pi-1r)e^-2t,&pi<= t<2pi,[8pt] l(3e^2pi-3e^pi+1r)e^-t +l(-tfrac32e^4pi+tfrac32e^2pi-1r)e^-2t,&t>=2pi ]

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