Seja f(t)=cc sin (t), & 0 <= t<pi t cos (t), & pi <= t<2 pi e^-4 t, & 2 pi <= t Calcule a transformada de Laplace de f(t). Passo 1O enunciado define a função piecewise f(t)= sin t, & 0 <= t<pi, tcos t, & pi<= t<2pi, e^-4t, & 2pi<= t, e pede Lf(s)=integral0^infty f(t)e^-st,dt. Para resolver, vamos usar a definição de transformada de Laplace, a linearidade e o teorema do deslocamento (segunda fórmula de deslocamento), representando f com funções passo de Heaviside. Passo 2Escrevemos f em termos de u(t-a): f(t)=sin tl[1-u(t-pi)r] + tcos tl[u(t-pi)-u(t-2pi)r] + e^-4t,u(t-2pi) Passo 3Pela linearidade e definição do deslocamento, Lf(s) = Lsin t - Lsin t,u(t-pi) + Ltcos t,u(t-pi) - Ltcos t,u(t-2pi) + Le^-4t,u(t-2pi) Passo 4Usamos transformadas conhecidas e o fato de Lh(t),u(t-a)=e^-as, Lh(t+a): 1) Lsin t=1s^2+1 2) Para sin t,u(t-pi), sin(t+pi)=-sin t implica Lsin t,u(t-pi) =e^-pi sintegral0^inftysin(t+pi)e^-stdt =-e^-pi ss^2+1 3) Ltcos t=- ddsss^2+1=s^2-1(s^2+1)^2, Lcos t=ss^2+1 Logo, Ltcos t,u(t-pi) =e^-pi s!integral0^infty(t+pi)cos(t+pi)e^-stdt =-e^-pi sl[s^2-1(s^2+1)^2+pi,ss^2+1r] 4) De modo análogo, Ltcos t,u(t-2pi) =e^-2pi sl[s^2-1(s^2+1)^2+2pi,ss^2+1r] 5) Finalmente, Le^-4t,u(t-2pi) =e^-2pi sintegral0^infty e^-4(t+2pi)e^-stdt =e^-2pi se^-8pis+4 Passo 5Somando todos os termos: Lf(s) =1s^2+1 +e^-pi ss^2+1 -,e^-pi sl[s^2-1(s^2+1)^2+pi,ss^2+1r] -,e^-2pi sl[s^2-1(s^2+1)^2+2pi,ss^2+1r] +e^-2pi s-8pis+4 Agrupando ligeiramente: Lf(s) =1s^2+1 +e^-pi s,l(2-pi,s,(s^2+1)r)(s^2+1)^2 -e^-2pi s,l[(s^2-1)+2pi,s,(s^2+1)r](s^2+1)^2 +e^-2pi s-8pis+4 Resposta boxed Lf(s) =1s^2+1 +e^-pi s,l(2-pi,s,(s^2+1)r)(s^2+1)^2 -e^-2pi s,l[(s^2-1)+2pi,s,(s^2+1)r](s^2+1)^2 +e^-2pi s-8pis+4 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosUtilize a mudança para coordenadas polares para calcular a integral dada. (g) integral duplaR arctan (y / x) d A em que R=(x, y): 1 <= x^2+y^2 <= 4 e 0 <= y <= x; Seja f(t)=cc sin (t), & 0 <= t<pi t cos (t), & pi <= t<2 pi e^-4 t, & 2 pi <= t Expresse f(t) em termos da função degrau. Resolva os seguintes problemas de valor inicial y^prime prime+3 y^prime+2 y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=1, f(t)=cc0, & 0 <= t<pi 3, & pi <= t<2 pi 0, & 2 pi <= t Quais das sentenças abaixo são proposições? No caso das proposições, quais são verdadeiras? 1+1=3