Seja
f(t)=cc sin (t), & 0 <= t<pi t cos (t), & pi <= t<2 pi e^-4 t, & 2 pi <= t
Calcule a transformada de Laplace de f(t).

Passo 1

O enunciado define a função piecewise
f(t)= sin t, & 0 <= t<pi, tcos t, & pi<= t<2pi, e^-4t, & 2pi<= t,
e pede Lf(s)=integral0^infty f(t)e^-st,dt.
Para resolver, vamos usar a definição de transformada de Laplace, a linearidade e o teorema do deslocamento (segunda fórmula de deslocamento), representando f com funções passo de Heaviside.

Passo 2

Escrevemos f em termos de u(t-a):
f(t)=sin tl[1-u(t-pi)r] + tcos tl[u(t-pi)-u(t-2pi)r] + e^-4t,u(t-2pi)

Passo 3

Pela linearidade e definição do deslocamento,
Lf(s) = Lsin t - Lsin t,u(t-pi) + Ltcos t,u(t-pi) - Ltcos t,u(t-2pi) + Le^-4t,u(t-2pi)

Passo 4

Usamos transformadas conhecidas e o fato de
Lh(t),u(t-a)=e^-as, Lh(t+a):
1) Lsin t=1s^2+1 2) Para sin t,u(t-pi),
sin(t+pi)=-sin t implica
Lsin t,u(t-pi) =e^-pi sintegral0^inftysin(t+pi)e^-stdt =-e^-pi ss^2+1
3) Ltcos t=- ddsss^2+1=s^2-1(s^2+1)^2, Lcos t=ss^2+1
Logo,
Ltcos t,u(t-pi) =e^-pi s!integral0^infty(t+pi)cos(t+pi)e^-stdt =-e^-pi sl[s^2-1(s^2+1)^2+pi,ss^2+1r]
4) De modo análogo,
Ltcos t,u(t-2pi) =e^-2pi sl[s^2-1(s^2+1)^2+2pi,ss^2+1r]
5) Finalmente,
Le^-4t,u(t-2pi) =e^-2pi sintegral0^infty e^-4(t+2pi)e^-stdt =e^-2pi se^-8pis+4

Passo 5

Somando todos os termos:
Lf(s) =1s^2+1 +e^-pi ss^2+1 -,e^-pi sl[s^2-1(s^2+1)^2+pi,ss^2+1r] -,e^-2pi sl[s^2-1(s^2+1)^2+2pi,ss^2+1r] +e^-2pi s-8pis+4
Agrupando ligeiramente:
Lf(s) =1s^2+1 +e^-pi s,l(2-pi,s,(s^2+1)r)(s^2+1)^2 -e^-2pi s,l[(s^2-1)+2pi,s,(s^2+1)r](s^2+1)^2 +e^-2pi s-8pis+4

Resposta

boxed Lf(s) =1s^2+1 +e^-pi s,l(2-pi,s,(s^2+1)r)(s^2+1)^2 -e^-2pi s,l[(s^2-1)+2pi,s,(s^2+1)r](s^2+1)^2 +e^-2pi s-8pis+4

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