Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y^prime prime+y=x, y(1)=0, y^prime(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem que envolve condições iniciais. O enunciado que temos é:
y'' + y = x, y(1) = 0, y'(1) = 1
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicaremos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + y = 0
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma y = e^rt . Ao substituir na equação, obtemos a equação característica:
r^2 + 1 = 0
Resolvendo para r :
r = pm i
Isso significa que as soluções são funções trigonométricas. Então, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)
Onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp ) da equação completa:
y'' + y = x
Como o lado direito da equação é uma função polinomial (neste caso, x ), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio. Vamos tentar:
yp = Ax + B
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar. Calculando as derivadas:
yp' = A
yp'' = 0
Substituindo yp , yp' e yp'' na equação:
0 + (Ax + B) = x
Isso simplifica para:
Ax + B = x
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
A = 1
B = 0
Então, a solução particular é:
yp = x

Passo 4

Agora, combinamos a solução homogênea e a solução particular para obter a solução geral da equação completa:
y(t) = yh(t) + yp(t)
y(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) + x

Passo 5

Precisamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes C1 e C2 .
Primeiro, vamos aplicar y(1) = 0 :
0 = C1 cos(1) + C2 sin(1) + 1
Isso nos dá a primeira equação:
C1 cos(1) + C2 sin(1) = -1 (1)
Agora, vamos encontrar a derivada de y(t) :
y'(t) = -C1 sin(t) + C2 cos(t) + 1
Aplicando a segunda condição y'(1) = 1 :
1 = -C1 sin(1) + C2 cos(1) + 1
Simplificando:
-C1 sin(1) + C2 cos(1) = 0 (2)

Passo 6

Temos agora um sistema de equações para [C_1) e :
Vamos resolver esse sistema. A partir da equação (2):
Podemos expressar :
Agora, substituímos na equação (1):
Sabendo que , então:
Agora, usando :

Passo 7

Finalmente, substituímos C1 e C2 na solução geral:
y(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) + x
y(t) = -cos(1) cos(t) - sin(1) sin(t) + x
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) :
y(t) = -cos(t + 1) + x

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
y(t) = -cos(t + 1) + t

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