Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem que envolve condições iniciais. O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicaremos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma . Ao substituir na equação, obtemos a equação característica:
Resolvendo para :
Isso significa que as soluções são funções trigonométricas. Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular () da equação completa:
Como o lado direito da equação é uma função polinomial (neste caso, ), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio. Vamos tentar:
Onde e são constantes que precisamos encontrar. Calculando as derivadas:
Substituindo , e na equação:
Isso simplifica para:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora, combinamos a solução homogênea e a solução particular para obter a solução geral da equação completa:
Passo 5
Precisamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, vamos aplicar :
Isso nos dá a primeira equação:
Agora, vamos encontrar a derivada de :
Aplicando a segunda condição :
Simplificando:
Passo 6
Temos agora um sistema de equações para [C_1) e :
Vamos resolver esse sistema. A partir da equação (2):
Podemos expressar :
Agora, substituímos na equação (1):
Sabendo que , então:
Agora, usando :
Passo 7
Finalmente, substituímos C1 e C2 na solução geral:
y(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) + x
y(t) = -cos(1) cos(t) - sin(1) sin(t) + x
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) :
y(t) = -cos(t + 1) + x
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: