Resolva os seguintes problemas de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A equação que precisamos resolver é:
Além disso, temos as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e entender como encontrar soluções gerais e particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
Para resolver essa equação, buscamos soluções da forma:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação original:
Olha só,
é uma constante, já que
. Portanto, a equação fica:
Essa é exatamente a mesma equação homogênea que já resolvemos! Isso significa que a única solução possível é a solução homogênea que já temos. Ou seja, não há necessidade de adicionar uma solução particular diferente.
Passo 4
Com isso, a solução geral da equação é apenas a solução homogênea:
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Primeiro, aplicamos
:
Sabemos que
e
, então:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, aplicamos
. Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Como
:
Aplicando
:
Sabendo que
:
Logo,
.
Resposta
Com
e
, a solução da equação é: