Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y^prime prime+4 y=sen^2 2 pi, y(pi)=0, y^prime(pi)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A equação que precisamos resolver é:
y'' + 4y = sin^2(2pi)
Além disso, temos as condições iniciais:
y(pi) = 0 e y'(pi) = 0
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e entender como encontrar soluções gerais e particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
y'' + 4y = 0
Para resolver essa equação, buscamos soluções da forma:
yh(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação original:
y'' + 4y = sin^2(2pi)
Olha só, sin^2(2pi) é uma constante, já que sin(2pi) = 0 . Portanto, a equação fica:
y'' + 4y = 0
Essa é exatamente a mesma equação homogênea que já resolvemos! Isso significa que a única solução possível é a solução homogênea que já temos. Ou seja, não há necessidade de adicionar uma solução particular diferente.

Passo 4

Com isso, a solução geral da equação é apenas a solução homogênea:
y(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2 .

Passo 5

Primeiro, aplicamos y(pi) = 0 :
0 = C1 cos(2pi) + C2 sin(2pi)
Sabemos que cos(2pi) = 1 e sin(2pi) = 0 , então:
0 = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 0 = C1
Portanto, C1 = 0 .

Passo 6

Agora, aplicamos y'(pi) = 0 . Primeiro, vamos calcular a derivada de y(x) :
y'(x) = -2C1 sin(2x) + 2C2 cos(2x)
Como C1 = 0 :
y'(x) = 2C2 cos(2x)
Aplicando x = pi :
0 = 2C2 cos(2pi)
Sabendo que cos(2pi) = 1 :
0 = 2C2 cdot 1 0 = 2C2
Logo, C2 = 0 .

Resposta

Com C1 = 0 e C2 = 0 , a solução da equação é:
y(x) = 0

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