Use o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação diferencial dada:
y^(3)+3 y^prime prime+3 y^prime+y=e^-x

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da EDO
y^(3)+3y''+3y'+y=e^-x
usando o método da variação dos parâmetros.
Aqui temos uma equação linear de 3º ordem com coeficientes constantes; para aplicar variação dos parâmetros precisamos primeiro achar um sistema fundamental da solução homogênea.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y^(3)+3y''+3y'+y=0
e o polinômio característico é
r^3+3r^2+3r+1=(r+1)^3=0,
logo existe raiz dupla de ordem 3 em r=-1.
Um sistema fundamental é
y1=e^-x, y2=x,e^-x, y3=x^2,e^-x

Passo 3

Pelo método da variação dos parâmetros procuramos
yp=u1(x),y1+u2(x),y2+u3(x),y3
com as condições auxiliares
u1'y1+u2'y2+u3'y3=0, u1'y1'+u2'y2'+u3'y3'=0, u1'y1''+u2'y2''+u3'y3''=e^-x

Passo 4

Calculamos as derivadas necessárias:
y1&=e^-x,&y1'&=-e^-x,&y1''&=e^-x, y2&=x,e^-x,&y2'&=(1-x)e^-x,&y2''&=(x-2)e^-x, y3&=x^2e^-x,&y3'&=(2x-x^2)e^-x,&y3''&=(x^2-4x+2)e^-x
Dividindo cada equação pelo fator comum e^-x, obtemos o sistema em u1',u2',u3':
u1'+x,u2'+x^2,u3'=0, -u1'+(1-x),u2'+(2x-x^2),u3'=0, u1'+(x-2),u2'+(x^2-4x+2),u3'=1

Passo 5

Somando a primeira com a segunda equação elimina u1' e dá
u2'+2x,u3'=0Rightarrow u2'=-2x,u3'
Da primeira equação também vem
u1'=x^2,u3'
Substituindo em a terceira equação surge
l[x^2-2x(x-2)+(x^2-4x+2)r]u3'=1 ;Longrightarrow;2,u3'=1 ;Longrightarrow;u3'=tfrac12
Integramos então
u3(x)=tfrac x2, u2'(x)=-x;Rightarrow;u2(x)=-tfracx^22, u1'(x)=tfracx^22;Rightarrow;u1(x)=tfracx^36

Passo 6

Finalmente
yp =u1,y1+u2,y2+u3,y3 =x^36e^-x -x^22,(x,e^-x) +x2,(x^2e^-x) =x^36e^-x

Resposta

Uma solução particular é
boxedyp(x)=x^36,e^-x

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