Resolva os seguintes problemas de valor inicial considerando as condições iniciais fornecidas.
Passo 1
O enunciado é o problema de valor inicial
que é um oscilador harmônico forçado por um impulso (delta de Dirac) em
. Para resolver, vamos usar a resposta ao impulso e a continuidade de
, com salto em
determinado pela integral da equação no instante do impulso.
Passo 2
Para
não há forçamento
, então a equação vira homogênea
A solução geral é
Impondo
e
encontramos
e
. Logo
Passo 3
No instante
há o termo
. Integramos a equação de
até
:
Como
é finita,
, e
Como
, segue
Passo 4
Para
volta a ser homogênea
com condições iniciais em
:
Escrevendo
, a solução é
Em
temos
. Derivando,
e em
dá
, logo
. Assim
Passo 5
Reunindo as duas faixas de
, a solução completa é