Resolva os seguintes problemas de valor inicial considerando as condições iniciais fornecidas.
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+4 y=2 \delta\left(t-\frac{\pi}{4}\right) \\\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado é o problema de valor inicial
\begin{cases} y''+4\,y=2\,\delta\!\bigl(t-\tfrac{\pi}{4}\bigr),\\\ y(0)=0,\quad y'(0)=0, \end{cases}
que é um oscilador harmônico forçado por um impulso (delta de Dirac) em t=a=\tfrac{\pi}{4}. Para resolver, vamos usar a resposta ao impulso e a continuidade de y, com salto em y' determinado pela integral da equação no instante do impulso.

Passo 2

Para 0\le t<\tfrac{\pi}{4} não há forçamento \delta=0, então a equação vira homogênea
y''+4y=0.
A solução geral é
y(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t).
Impondo y(0)=0 e y'(0)=0 encontramos C_{1}=0 e C_{2}=0. Logo
y(t)=0,\quad 0\le t<\tfrac{\pi}{4}.

Passo 3

No instante t=a=\tfrac{\pi}{4} há o termo 2\,\delta(t-a). Integramos a equação de t=a^{-} até t=a^{+}:
\int_{a^-}^{a^+}y''\,dt+4\int_{a^-}^{a^+}y\,dt =\int_{a^-}^{a^+}2\,\delta(t-a)\,dt.
Como y é finita, \int_{a^-}^{a^+}4y\,dt=0, e
y'(a^+)-y'(a^-)=2.
Como y'(a^-)=0, segue
y'(a^+)=2.

Passo 4

Para t> \tfrac{\pi}{4} volta a ser homogênea
y''+4y=0,
com condições iniciais em t=a:
y(a)=0,\quad y'(a)=2.
Escrevendo s=t-a, a solução é
y(t)=A\cos\bigl(2s\bigr)+B\sin\bigl(2s\bigr) = A\cos\bigl(2(t-a)\bigr)+B\sin\bigl(2(t-a)\bigr).
Em t=a s=0 temos y(a)=A=0. Derivando,
y'(t)=-2A\sin\bigl(2s\bigr)+2B\cos\bigl(2s\bigr),
e em t=a y'(a)=2B=2, logo B=1. Assim
y(t)=\sin\!\bigl(2(t-\tfrac{\pi}{4})\bigr),\quad t>\tfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Reunindo as duas faixas de t, a solução completa é
y(t)= \begin{cases} 0, & 0\le t<\tfrac{\pi}{4},\\\ \sin\!\bigl(2(t-\tfrac{\pi}{4})\bigr), & t\ge \tfrac{\pi}{4}. \end{cases}

Resposta

y(t)= \begin{cases} 0, & 0\le t<\dfrac{\pi}{4},\\[6pt] \sin\!\bigl(2(t-\tfrac{\pi}{4})\bigr), & t\ge \dfrac{\pi}{4}. \end{cases}]

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