Resolva os seguintes problemas de valor inicial considerando as condições iniciais fornecidas.
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=\cos t+\delta\left(t-\frac{\pi}{2}\right) \\\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá uma EDO linear de segunda ordem com amortecimento e dois termos de forçamento: um forçamento contínuo \cos t e um impulso em t=\pi/2 modelado pela delta de Dirac. As condições iniciais são
y(0)=0,\quad y'(0)=0.
O conteúdo é EDO linear não homogênea com termo \delta, e vamos usar:
  1. solução geral da homogênea;
  2. método dos coeficientes a determinar para a parte particular de \cos t;
  3. princípio de Duhamel para o impulso \delta(t-\pi/2).

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
y''+2y'+2y=0.
A equação característica é s^2+2s+2=0, cujas raízes são
s=-1\pm i.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(t)=e^{-t}\bigl(C\cos t + D\sin t\bigr).

Passo 3

Para a parte particular ao forçamento \cos t\), fazemos o ansatz \[y_p(t)=A\cos t + B\sin t.
Derivando e substituindo em y''+2y'+2y=\cos t obtemos o sistema
\begin{cases} A+2B=1,\\\\ -2A+B=0, \end{cases}
cuja solução é A=\tfrac15\], \(B=\tfrac25. Assim
y_p(t)=\frac15\cos t+\frac25\sin t.

Passo 4

A solução sem ainda incluir o impulso é
y_1(t)=y_p(t)+y_h(t) =\frac15\cos t+\frac25\sin t +e^{-t}\bigl(C\cos t +D\sin t\bigr).
Impondo y_1(0)=0 e y_1'(0)=0:
  1. y_1(0)=\tfrac15 +C=0 C=-\tfrac15.
  2. y_1'(t)=y_p'(t)+y_h'(t) dá em t=0:
y_p'(0)=\frac25,\quad y_h'(0)=-C -D,
e y_1'(0)=0 leva a \tfrac25 -C -D=0 \tfrac25 +\tfrac15 -D=0 D=\tfrac35.
Logo
y_1(t)=\frac15\cos t+\frac25\sin t -\frac15e^{-t}\cos t+\frac35e^{-t}\sin t.

Passo 5

O impulso em t=\pi/2 gera uma resposta igual à resposta ao impulso unitário deslocada. A resposta ao impulso unitário do sistema é
h(t)=e^{-t}\sin t\quad(t>0).
Pelo princípio de Duhamel, o termo adicional é
y_2(t)=u\!\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr)\;h\!\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr) =u\!\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr)\;e^{-\,(t-\frac\pi2)}\sin\!\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr).

Resposta

Somando as duas partes, a solução do problema de valor inicial é
y(t)=\frac15\cos t+\frac25\sin t -\frac15e^{-t}\cos t+\frac35e^{-t}\sin t +u\!\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr)\,e^{-\,(t-\frac\pi2)}\sin\!\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr).

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