Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial:
f^prime prime(x)=5, f^prime(0)=7 e f(0)=3

Passo 1

O problema pede resolver um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem: temos f''(x)=5, com as condições f'(0)=7 e f(0)=3. Vamos usar integrações sucessivas para encontrar f(x).

Passo 2

Integramos a segunda derivada para achar a primeira derivada. Como f''(x)=5, temos
f'(x)=integral 5,dx = 5x + C1

Passo 3

Aplicamos a condição inicial f'(0)=7. Substituindo x=0 na expressão de f'(x)
7 = 5cdot0 + C1 implies C1 = 7
Logo f'(x)=5x+7.

Passo 4

Agora integramos f'(x) para encontrar f(x):
f(x)=integral (5x + 7),dx = 52x^2 + 7x + C2

Passo 5

Usamos a condição f(0)=3. Substituindo x=0 na expressão de f(x) resulta
3 = 52cdot0^2 +7cdot0 + C2 implies C2 = 3

Resposta

f(x)=52x^2 +7x +3

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