Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial:
f^prime(x)=sec ^2(x) e f(pi4)=5

Passo 1

A questão pede para encontrar a função f sujeita ao problema de valor inicial f′(x)=sec²(x) e f(π/4)=5. O conteúdo aqui é resolução de EDOs simples por integração indefinida e uso de condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Para achar f(x), integramos a derivada fornecida. Lembrando que a integral de sec²(x) é tan(x), temos:
f(x)=integralsec^2(x),dx=tan(x)+C

Passo 3

Agora aplicamos a condição inicial f(π/4)=5. Substituindo x=π/4:
f(tfracpi4)=tanl(tfracpi4r)+C=1+C=5

Passo 4

Daí encontramos C=4 e concluímos a forma explícita de f(x).

Resposta

f(x)=\tan(x)+4

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