Resolva os seguintes problemas de valor inicial
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
Este é um ODE de primeira ordem não linear do tipo Bernoulli, pois pode ser escrito como
Para resolver usamos a transformação de Bernoulli:
.
Passo 2
Definindo
, temos
Substituindo
e
na equação original
obtemos, após dividir tudo por
,
Multiplicando por
dá
que é uma EDO linear em
.
Passo 3
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
resulta em
Agora integramos em
:
Fazendo integração por partes em
:
logo
Assim
Passo 4
Voltando a
, temos
Usando a condição
implica
. Em
:
Passo 5
Substituindo
obtemos
Invertendo, a solução final é