Resolva os seguintes problemas de valor inicial
x y^{\prime}(x)+y=y^{2} x^{2} \log (x), y(1)=\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
x\,y'(x)+y(x)=y(x)^{2}\,x^{2}\,\log(x), \quad y(1)=\tfrac12.
Este é um ODE de primeira ordem não linear do tipo Bernoulli, pois pode ser escrito como
y'+\frac1x\,y = x^{2}\,\log(x)\,y^{2}.
Para resolver usamos a transformação de Bernoulli: u=y^{1-2}=y^{-1}.

Passo 2

Definindo u(x)=\frac1{y(x)}, temos
u' = -y^{-2}\,y'.
Substituindo y'= -y^{2}u' e y=1/u na equação original
y'+\frac1x\,y = x^2\log(x)\,y^2
obtemos, após dividir tudo por y^2,
-\,u' + \frac1x\,u = x^2\log(x).
Multiplicando por -1
u' - \frac1x\,u = -\,x^2\log(x),
que é uma EDO linear em u.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int -\tfrac1x\,dx\Bigr) =\exp(-\ln x) =x^{-1}.
Multiplicando a equação por x^{-1} resulta em
\bigl(x^{-1}u\bigr)' = -\,x\log(x).
Agora integramos em x:
x^{-1}u = \int -\,x\log(x)\,dx + C.
Fazendo integração por partes em \int x\log(x)\,dx:
\int x\log(x)\,dx =\frac{x^2}{2}\log(x)-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac1x\,dx =\frac{x^2}{2}\log(x)-\frac{x^2}{4},
logo
\int -\,x\log(x)\,dx =-\frac{x^2}{2}\log(x)+\frac{x^2}{4}+C.
Assim
x^{-1}u = -\frac{x^2}{2}\log(x)+\frac{x^2}{4}+C \quad\Longrightarrow\quad u = -\frac{x^3}{2}\log(x)+\frac{x^3}{4}+C\,x.

Passo 4

Voltando a y, temos
\frac1{y} = u(x) =-\frac{x^3}{2}\log(x)+\frac{x^3}{4}+C\,x.
Usando a condição y(1)=\tfrac12 implica 1/y(1)=2. Em x=1:
2 = -\tfrac{1^3}{2}\log(1)+\tfrac{1^3}{4}+C\cdot1 =0+\tfrac14 + C \;\Longrightarrow\; C=\tfrac{7}{4}.

Passo 5

Substituindo C=\tfrac74 obtemos
\frac1{y} = -\frac{x^3}{2}\log(x)+\frac{x^3}{4}+\frac{7}{4}x =\frac{1}{4}\bigl(x^3(1-2\log(x))+7x\bigr).
Invertendo, a solução final é
y(x) =\frac{4}{\,x^3\bigl(1-2\log(x)\bigr)+7x}.

Resposta

y(x)=\frac{4}{\,x^3\bigl(1-2\log(x)\bigr)+7x}.

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