Resolva os seguintes problemas de valor inicial
x y^{\prime}(x)-2 y=4 x^{3} \sqrt{y}, y(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x\,y'(x) - 2\,y = 4\,x^{3}\sqrt{y},\quad y(1)=0.
Este é um caso de equação de Bernoulli de primeira ordem, pois pode ser posta na forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
com n=\tfrac12. Vamos usar a transformação padrão para Bernoulli.

Passo 2

Primeiro dividimos a equação por x (supondo x\neq0) para escrever no formato
y' - \frac{2}{x}\,y = 4\,x^{2}\sqrt{y}.

Passo 3

Reconhecendo n=\tfrac12, fazemos a substituição
u = y^{1-n} = y^{1-\tfrac12} = y^{\tfrac12},
de onde
u' = \frac{1}{2\,\sqrt{y}}\,y' = \frac{1}{2\,u}\,y' \quad\Longrightarrow\quad y' = 2\,u\,u'.
Substituindo em
y' - \frac{2}{x}\,y = 4\,x^{2}\sqrt{y}
obtemos
2\,u\,u' - \frac{2}{x}\,u^{2} = 4\,x^{2}\,u.
Dividindo tudo por 2u (para u\neq0) resulta
u' - \frac{1}{x}\,u = 2\,x^{2},
que é uma equação linear em u.

Passo 4

Para resolver
u' - \frac{1}{x}\,u = 2\,x^{2},
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac1x\,dx\Bigr) = x^{-1}.
Multiplicando ambos os lados por \mu
\bigl(x^{-1}u\bigr)' = 2\,x^{2}\cdot x^{-1} = 2\,x.
Integrando em x,
x^{-1}u = \int 2\,x\,dx = x^{2} + C \quad\Longrightarrow\quad u = x^{3} + C\,x.

Passo 5

Voltando à variável original,
\sqrt{y} = u = x^{3} + C\,x \quad\Longrightarrow\quad y = \bigl(x^{3} + C\,x\bigr)^{2}.
Impondo a condição inicial y(1)=0 implica
0 = \bigl(1^{3} + C\cdot1\bigr)^{2} \quad\Longrightarrow\quad 1 + C = 0 \quad\Longrightarrow\quad C = -1.
Logo
y(x) = \bigl(x^{3} - x\bigr)^{2} = x^{2}\,(x^{2}-1)^{2}.

Resposta

y(x) = x^{2}\,(x^{2} - 1)^{2}.

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