Seja \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
f(t)=\sin ^{2}(b t);

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace da função f(t)=\sin^{2}(b t), ou seja, encontrar \mathcal{L}\{\sin^{2}(b t)\}(s).
Informações dadas e observações úteis: b é uma constante (real), a variável da transformada é s. Não há outras condições explícitas sobre b, então tratamos o caso geral (caso b=0 é trivial: \sin^{2}(0\cdot t)=0). A resposta deve ser uma função de s (e de b) válida na região de convergência apropriada.

Passo 2

Definição e propriedades que vamos usar (explico como se estivéssemos começando do zero):
A transformada de Laplace de uma função g(t) é definida por
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}g(t)\,dt,
onde s é, em geral, um número complexo com parte real grande o suficiente para garantir convergência.
Duas propriedades fundamentais que usaremos:
  1. Linearidade: para constantes a,c e funções g,h,
\mathcal{L}\{a\,g(t)+c\,h(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s)+c\,\mathcal{L}\{h(t)\}(s).
  1. Transformadas básicas (que você deve decorar ou saber derivar rapidamente):
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\qquad \text{para }\operatorname{Re}(s)>0,
\mathcal{L}\{\cos(\alpha t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+\alpha^{2}},\qquad \text{para }\operatorname{Re}(s)>0,
\mathcal{L}\{\sin(\alpha t)\}(s)=\frac{\alpha}{s^{2}+\alpha^{2}},\qquad \text{para }\operatorname{Re}(s)>0.
Aqui \alpha é uma constante real; note que nos resultados o denominador vem de integrar exponenciais com senos/cossenos.

Passo 3

Estratégia prática para a função dada: usar uma identidade trigonométrica que transforma \sin^{2} numa combinação de funções mais simples (constante e cosseno). A identidade de ângulo duplo é
\sin^{2}(b t)=\frac{1-\cos(2 b t)}{2}.
Por que isso ajuda? Porque temos transformadas simples de 1 e de \cos(2 b t), então aplicando linearidade obtemos a transformada de \sin^{2}(b t) facilmente. (Se preferir, poderia usar exponenciais complexas, mas a identidade é mais direta e menos trabalhosa na prova.)

Passo 4

Aplicando a linearidade da transformada de Laplace à identidade do passo anterior:
\mathcal{L}\{\sin^{2}(b t)\}(s)=\mathcal{L}\left\{\frac{1-\cos(2 b t)}{2}\right\}(s)=\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{1\}(s)-\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{\cos(2 b t)\}(s).
Substituindo as transformadas básicas do passo 2:
\mathcal{L}\{\sin^{2}(b t)\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{2}\cdot\frac{s}{s^{2}+(2b)^{2}}.
Ou seja,
\mathcal{L}\{\sin^{2}(b t)\}(s)=\frac{1}{2s}-\frac{s}{2\bigl(s^{2}+4b^{2}\bigr)}.

Passo 5

Agora simplificamos essa expressão para uma forma racional única (útil na prova). Vamos pôr as parcelas sobre um denominador comum 2s\bigl(s^{2}+4b^{2}\bigr):
Escrevendo cada termo com denominador comum:
\frac{1}{2s}=\frac{s^{2}+4b^{2}}{2s\bigl(s^{2}+4b^{2}\bigr)}, \qquad \frac{s}{2\bigl(s^{2}+4b^{2}\bigr)}=\frac{s^{2}}{2s\bigl(s^{2}+4b^{2}\bigr)}.
Subtraindo:
\frac{1}{2s}-\frac{s}{2\bigl(s^{2}+4b^{2}\bigr)} =\frac{s^{2}+4b^{2}-s^{2}}{2s\bigl(s^{2}+4b^{2}\bigr)} =\frac{4b^{2}}{2s\bigl(s^{2}+4b^{2}\bigr)}.
Cancelando o 2:
\mathcal{L}\{\sin^{2}(b t)\}(s)=\frac{2b^{2}}{s\bigl(s^{2}+4b^{2}\bigr)}.

Passo 6

Interpretações finais e observações para a prova:
  • A região de convergência é \operatorname{Re}(s)>0 (mesma condição das transformadas usadas).
  • Se b=0 a fórmula dá zero (pois 2b^{2}=0), coerente com \sin^{2}(0\cdot t)=0.
  • Dica rápida: para funções do tipo \sin^{2} ou \cos^{2} sempre pense na identidade de ângulo duplo; é a forma mais rápida em prova sem calculadora.

Resposta

\mathcal{L}\{\sin^{2}(b t)\}(s)=\frac{2b^{2}}{s\bigl(s^{2}+4b^{2}\bigr)},\qquad \operatorname{Re}(s)>0

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