Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace da função
, ou seja, encontrar
.
Informações dadas e observações úteis: é uma constante (real), a variável da transformada é
. Não há outras condições explícitas sobre
, então tratamos o caso geral (caso
é trivial:
). A resposta deve ser uma função de
(e de
) válida na região de convergência apropriada.
Informações dadas e observações úteis:
Passo 2
Definição e propriedades que vamos usar (explico como se estivéssemos começando do zero):
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
onde
é, em geral, um número complexo com parte real grande o suficiente para garantir convergência.
Duas propriedades fundamentais que usaremos:
Duas propriedades fundamentais que usaremos:
- Linearidade: para constantes
e funções ,
- Transformadas básicas (que você deve decorar ou saber derivar rapidamente):
Aqui
é uma constante real; note que nos resultados o denominador vem de integrar exponenciais com senos/cossenos.
Passo 3
Estratégia prática para a função dada: usar uma identidade trigonométrica que transforma
numa combinação de funções mais simples (constante e cosseno). A identidade de ângulo duplo é
Por que isso ajuda? Porque temos transformadas simples de
e de
, então aplicando linearidade obtemos a transformada de
facilmente. (Se preferir, poderia usar exponenciais complexas, mas a identidade é mais direta e menos trabalhosa na prova.)
Passo 4
Aplicando a linearidade da transformada de Laplace à identidade do passo anterior:
Substituindo as transformadas básicas do passo 2:
Ou seja,
Passo 5
Agora simplificamos essa expressão para uma forma racional única (útil na prova). Vamos pôr as parcelas sobre um denominador comum
:
Escrevendo cada termo com denominador comum:
Subtraindo:
Cancelando o
:
Passo 6
Interpretações finais e observações para a prova:
- A região de convergência é
(mesma condição das transformadas usadas). - Se
a fórmula dá zero (pois ), coerente com . - Dica rápida: para funções do tipo
ou sempre pense na identidade de ângulo duplo; é a forma mais rápida em prova sem calculadora.