Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial (PVI):
y^prime+x y=x, y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o Problema de Valor Inicial
y' + x,y = x, y(1)=0
Esse é um caso de equação diferencial linear de primeira ordem do tipo
y' + P(x),y = Q(x),
com P(x)=x e Q(x)=x. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calcular o fator integrante mu(x), que é dado por
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral x,dx = e^x^2/2

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x):
e^x^2/2,y' + x,e^x^2/2,y = x,e^x^2/2
O lado esquerdo é exatamente a derivada de mu(x),y, ou seja,
ddxl(e^x^2/2,yr) = x,e^x^2/2

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a x:
e^x^2/2,y = integral x,e^x^2/2,dx = e^x^2/2 + C,
onde C é a constante de integração. Assim,
y = 1 + C,e^-x^2/2

Passo 5

Usar a condição inicial y(1)=0:
0 = 1 + C,e^-1^2/2 = 1 + C,e^-1/2 Longrightarrow C = -e^1/2
Logo, a solução particular é
y(x) = 1 - e^1/2,e^-x^2/2 = 1 - e^(1 - x^2)/2

Resposta

y(x) = 1 - e^1 - x^22

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