Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial (PVI):
y^prime+y=e^x, y(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá um Problema de Valor Inicial para a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + y = e^x,
com condição inicial y(0)=2. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que serve para equações do tipo
y' + P(x),y = Q(x)

Passo 2

Identificamos P(x)=1. O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 1,dx = e^x
Multiplicando a equação original por mu(x), o lado esquerdo vira derivada de um produto:
e^x y' + e^x y = ddxl(e^x yr),
e o lado direito fica
e^x cdot e^x = e^2x

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(e^x yr),dx = integral e^2x,dx
e^x y = 12e^2x + C
Assim, a solução geral é
y = 12e^x + C e^-x

Passo 4

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=2. Substituindo x=0 na solução geral:
2 = 12e^0 + C e^0 = 12 + C Longrightarrow C = 2 - 12 = 32
Logo a solução particular é
y(x) = 12e^x + 32e^-x

Resposta

y(x) = 12e^x + 32e^-x

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