Sejam F(x, y)=x^3 i-3 x^2 y j, gamma1(t)=(t, e^t^2-1), 0 <= t <= 1, e gamma2(t)= (t, t^2), 0 <= t <= 1. Sejam n1 a normal a gamma1 com componente y>0 e n2 a normal a gamma2 com componente y<0. Calcule integralgamma1 F cdot n1 d s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função vetorial F(x, y) = x^3 i - 3 x^2 y j e uma curva gamma1(t) = (t, e^t^2-1), onde t varia de 0 a 1. Nosso objetivo é calcular a integral de linha integralgamma1 F cdot n1 , ds, onde n1 é a normal à curva gamma1 com componente y > 0. Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e normais a curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva gamma1(t) = (t, e^t^2-1). Isso significa que para cada valor de t entre 0 e 1, temos um ponto na curva dado pelas coordenadas (x(t), y(t)) = (t, e^t^2-1).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor tangente à curva gamma1. Para isso, derivamos gamma1(t) em relação a t:
gamma1'(t) = (dxdt, dydt) = (1, 2t e^t^2-1)
Esse vetor tangente nos dá a direção da curva em cada ponto.

Passo 4

Com o vetor tangente, podemos encontrar o vetor normal n1. O vetor normal é perpendicular ao vetor tangente. Em duas dimensões, se temos um vetor tangente (a, b), um vetor normal pode ser (-b, a) ou (b, -a). Precisamos escolher aquele que tem componente y > 0.
Então, partindo do vetor tangente (1, 2t e^t^2-1), um vetor normal é (-2t e^t^2-1, 1). Verificamos que a componente y desse vetor é positiva (igual a 1), então essa é a normal que queremos:
n1 = (-2t e^t^2-1, 1)

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot n1. A função vetorial F(x, y) = x^3 i - 3 x^2 y j. Substituindo x e y pelas parametrizações da curva:
F(gamma1(t)) = (t^3, -3 t^2 e^t^2-1)
Então, o produto escalar é:
F cdot n1 = t^3 cdot (-2t e^t^2-1) + (-3 t^2 e^t^2-1) cdot 1 = -2 t^4 e^t^2-1 - 3 t^2 e^t^2-1
Podemos simplificar isso fatorando e^t^2-1:
F cdot n1 = e^t^2-1 (-2 t^4 - 3 t^2)

Passo 6

Por fim, precisamos calcular a integral integralgamma1 F cdot n1 , ds. Para isso, determinamos ds, que é o elemento de comprimento da curva. ds pode ser encontrado pela norma do vetor tangente:
ds = |gamma1'(t)| dt = raiz1^2 + (2t e^t^2-1)^2 dt = raiz1 + 4 t^2 e^2(t^2-1) dt
Então, a integral fica:
integral0^1 F cdot n1 , ds = integral0^1 e^t^2-1 (-2 t^4 - 3 t^2) raiz1 + 4 t^2 e^2(t^2-1) , dt
Essa integral pode ser bastante complexa para resolver analiticamente, então pode ser necessário utilizar métodos numéricos ou ferramentas computacionais para encontrar seu valor.

Resposta

A integral integralgamma1 F cdot n1 , ds é igual a
integral0^1 ( -2 t^4 - 3 t^2 ) e^t^2-1 raiz1 + 4 t^2 e^2(t^2-1) , dt

Exercícios relacionados