Sejam , e . Sejam a normal a gamma1 com componente y>0 e n2 a normal a gamma2 com componente y<0. Calcule integralgamma1 F cdot n1 d s.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função vetorial F(x, y) = x^3 i - 3 x^2 y j e uma curva gamma1(t) = (t, e^t^2-1), onde t varia de 0 a 1. Nosso objetivo é calcular a integral de linha integralgamma1 F cdot n1 , ds, onde n1 é a normal à curva gamma1 com componente y > 0. Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e normais a curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva gamma1(t) = (t, e^t^2-1). Isso significa que para cada valor de t entre 0 e 1, temos um ponto na curva dado pelas coordenadas (x(t), y(t)) = (t, e^t^2-1).
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor tangente à curva gamma1. Para isso, derivamos gamma1(t) em relação a t:
gamma1'(t) = (dxdt, dydt) = (1, 2t e^t^2-1)
Esse vetor tangente nos dá a direção da curva em cada ponto.
Passo 4
Com o vetor tangente, podemos encontrar o vetor normal n1. O vetor normal é perpendicular ao vetor tangente. Em duas dimensões, se temos um vetor tangente (a, b), um vetor normal pode ser (-b, a) ou (b, -a). Precisamos escolher aquele que tem componente y > 0.
Então, partindo do vetor tangente (1, 2t e^t^2-1), um vetor normal é (-2t e^t^2-1, 1). Verificamos que a componente y desse vetor é positiva (igual a 1), então essa é a normal que queremos:
n1 = (-2t e^t^2-1, 1)
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot n1. A função vetorial F(x, y) = x^3 i - 3 x^2 y j. Substituindo x e y pelas parametrizações da curva:
Por fim, precisamos calcular a integral integralgamma1 F cdot n1 , ds. Para isso, determinamos ds, que é o elemento de comprimento da curva. ds pode ser encontrado pela norma do vetor tangente:
Essa integral pode ser bastante complexa para resolver analiticamente, então pode ser necessário utilizar métodos numéricos ou ferramentas computacionais para encontrar seu valor.
Resposta
A integral integralgamma1 F cdot n1 , ds é igual a