Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.) y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+5 y=29 \cos 2 t, \quad y(0)=3,2, \quad y^{\prime}(0)=6,2
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial usando a transformada de Laplace. Escrevo claramente o que foi dado e o que se pede:
Equação diferencial: y''-6y'+5y=29\cos 2t.
Condições iniciais: y(0)=3,2,\qquad y'(0)=6,2.
Objetivo: encontrar a solução y(t) para t\ge0 usando a transformada de Laplace, mostrando todos os passos e detalhes.
Passo 2
Vou aplicar a transformada de Laplace a ambos os lados da equação. Primeiro lembro as fórmulas básicas que vou usar (aula curta e direta):
Se \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s), então\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0)e\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
Também usarei \mathcal{L}\{\cos 2t\}=\dfrac{s}{s^2+4}.
Vou decompor [Y(s)) em frações parciais para poder aplicar a transformada inversa. Trabalho em duas partes: a fração simples \dfrac{3,2s-13,0}{(s-1)(s-5)} e a fração mais complicada \dfrac{29s}{(s^2+4)(s-1)(s-5)}.
\begin{cases} C+D = 3,2,\\\\ -5C - D = -13,0. \end{cases}
Resolvendo: da primeira D=3,2-C\]. Substituindo na segunda:
\[-5C - (3,2-C) = -13,0 \Rightarrow -4C -3,2 = -13,0 \Rightarrow -4C = -9,8 \Rightarrow C = 2,45.\]
Então \(D=3,2-2,45=0,75. Logo
29\cdot 5 = F(25+4)(5-1) \Rightarrow 145 = 116 F \Rightarrow F = \dfrac{145}{116} = \dfrac{5}{4} = 1,25.
Agora uso a parte restante para achar A e B. Expando e comparo coeficientes (ou uso a soma das partes cúbicas, quadráticas etc.). Coeficientes para s^3 devem dar zero no lado esquerdo, logo:
A + E + F = 0 \Rightarrow A = -E - F = -(-1,45) - 1,25 = 0,20.
Para o termo constante (coeficiente de s^0) tenho:
5B -20E -4F = 0 \Rightarrow 5B = 20E +4F.
Calculo 20E = 20(-1,45)=-29,0 e 4F = 4(1,25)=5,0. Logo 5B = -24,0 e assim B = -4,8.
(Faço uma checagem rápida: com A=0,2, B=-4,8, E=-1,45, F=1,25 os coeficientes batem com o termo linear 29s.)
Portanto a decomposição completa da parte difícil é
Agora junto as duas decomposições (a da Passo 4 e a da Passo 5). Lembre-se que a fração simples deu \dfrac{2,45}{s-1}+\dfrac{0,75}{s-5}. Somando com os termos -\dfrac{1,45}{s-1}+\dfrac{1,25}{s-5} obtidos acima, os coeficientes para os pólos simples são:
Coeficiente em \dfrac{1}{s-1}: -1,45 + 2,45 = 1,00.
Coeficiente em \dfrac{1}{s-5}: 1,25 + 0,75 = 2,00.