Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+5 y=29 \cos 2 t, \quad y(0)=3,2, \quad y^{\prime}(0)=6,2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial usando a transformada de Laplace. Escrevo claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Equação diferencial: y''-6y'+5y=29\cos 2t.
  • Condições iniciais: y(0)=3,2,\qquad y'(0)=6,2.
  • Objetivo: encontrar a solução y(t) para t\ge0 usando a transformada de Laplace, mostrando todos os passos e detalhes.

Passo 2

Vou aplicar a transformada de Laplace a ambos os lados da equação. Primeiro lembro as fórmulas básicas que vou usar (aula curta e direta):
  • Se \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s), então \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0)e \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
  • Também usarei \mathcal{L}\{\cos 2t\}=\dfrac{s}{s^2+4}.
Agora aplico \mathcal{L}\{\cdot\} à equação dada:
\mathcal{L}\{y''\}-6\mathcal{L}\{y'\}+5\mathcal{L}\{y\}=29\mathcal{L}\{\cos 2t\}.
Substituindo as expressões:
\big(s^2Y - s y(0) - y'(0)\big) -6\big(sY - y(0)\big) +5Y = 29\cdot \dfrac{s}{s^2+4}.

Passo 3

Agora coloco as condições iniciais \;y(0)=3,2 e \;y'(0)=6,2 dentro da equação transformada e organizo os termos. Substituindo:
\big(s^2Y - s\cdot 3,2 - 6,2\big) -6\big(sY - 3,2\big) +5Y = \dfrac{29s}{s^2+4}.
Agrupando os termos que multiplicam Y:
(s^2 -6s +5)Y +\big(-s\cdot 3,2 -6,2 +6\cdot 3,2\big) = \dfrac{29s}{s^2+4}.
Calculo a combinação dos termos constantes (faço devagar):
-s\cdot 3,2 -6,2 +6\cdot 3,2 = -3,2s -6,2 +19,2 = -3,2s +13,0.
Portanto:
(s^2 -6s +5)Y -3,2s +13,0 = \dfrac{29s}{s^2+4}.
Isolando Y:
Y(s)=\dfrac{29s}{(s^2+4)(s^2 -6s +5)} + \dfrac{3,2s -13,0}{s^2 -6s +5}.
Observação útil: s^2-6s+5 fatoriza fácil:
s^2-6s+5=(s-1)(s-5).

Passo 4

Vou decompor [Y(s)) em frações parciais para poder aplicar a transformada inversa. Trabalho em duas partes: a fração simples \dfrac{3,2s-13,0}{(s-1)(s-5)} e a fração mais complicada \dfrac{29s}{(s^2+4)(s-1)(s-5)}.
Primeiro a fração simples. Procuro C,D tais que
\dfrac{3,2s-13,0}{(s-1)(s-5)}=\dfrac{C}{s-1}+\dfrac{D}{s-5}.
Multiplico em cruz e igualo coeficientes:
3,2s-13,0 = C(s-5)+D(s-1) = (C+D)s +(-5C-D).
Igualando coeficientes:
\begin{cases} C+D = 3,2,\\\\ -5C - D = -13,0. \end{cases}
Resolvendo: da primeira D=3,2-C\]. Substituindo na segunda: \[-5C - (3,2-C) = -13,0 \Rightarrow -4C -3,2 = -13,0 \Rightarrow -4C = -9,8 \Rightarrow C = 2,45.\] Então \(D=3,2-2,45=0,75. Logo
\dfrac{3,2s-13,0}{(s-1)(s-5)}=\dfrac{2,45}{s-1}+\dfrac{0,75}{s-5}.

Passo 5

Agora decomponho a parte com (s^2+4). Procuro A,B,E,F tais que
\dfrac{29s}{(s^2+4)(s-1)(s-5)} = \dfrac{As+B}{s^2+4} + \dfrac{E}{s-1} + \dfrac{F}{s-5}.
Multiplico ambos os lados por (s^2+4)(s-1)(s-5) e obtenho a identidade
29s = (As+B)(s-1)(s-5) + E(s^2+4)(s-5) + F(s^2+4)(s-1).
Uma forma prática: primeiro obtenho E e F substituindo s=1 e s=5.
  • Para s=1:
29\cdot 1 = E(1+4)(1-5) \Rightarrow 29 = -20E \Rightarrow E = -\dfrac{29}{20} = -1,45.
  • Para s=5:
29\cdot 5 = F(25+4)(5-1) \Rightarrow 145 = 116 F \Rightarrow F = \dfrac{145}{116} = \dfrac{5}{4} = 1,25.
Agora uso a parte restante para achar A e B. Expando e comparo coeficientes (ou uso a soma das partes cúbicas, quadráticas etc.). Coeficientes para s^3 devem dar zero no lado esquerdo, logo:
A + E + F = 0 \Rightarrow A = -E - F = -(-1,45) - 1,25 = 0,20.
Para o termo constante (coeficiente de s^0) tenho:
5B -20E -4F = 0 \Rightarrow 5B = 20E +4F.
Calculo 20E = 20(-1,45)=-29,0 e 4F = 4(1,25)=5,0. Logo 5B = -24,0 e assim B = -4,8.
(Faço uma checagem rápida: com A=0,2, B=-4,8, E=-1,45, F=1,25 os coeficientes batem com o termo linear 29s.)
Portanto a decomposição completa da parte difícil é
\dfrac{29s}{(s^2+4)(s-1)(s-5)} = \dfrac{0,2s-4,8}{s^2+4} -\dfrac{1,45}{s-1} + \dfrac{1,25}{s-5}.

Passo 6

Agora junto as duas decomposições (a da Passo 4 e a da Passo 5). Lembre-se que a fração simples deu \dfrac{2,45}{s-1}+\dfrac{0,75}{s-5}. Somando com os termos -\dfrac{1,45}{s-1}+\dfrac{1,25}{s-5} obtidos acima, os coeficientes para os pólos simples são:
  • Coeficiente em \dfrac{1}{s-1}: -1,45 + 2,45 = 1,00.
  • Coeficiente em \dfrac{1}{s-5}: 1,25 + 0,75 = 2,00.
Assim a função Y(s) fica:
Y(s)=\dfrac{0,2s-4,8}{s^2+4} + \dfrac{1}{s-1} + \dfrac{2}{s-5}.
Agora aplico a transformada inversa termo a termo. Lembro as correspondências úteis:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^2+a^2}\right\}=\cos at.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{a}{s^2+a^2}\right\}=\sin at.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-\alpha}\right\}=e^{\alpha t}.
No termo sobre s^2+4 escrevo separadamente:
\dfrac{0,2s-4,8}{s^2+4} = 0,2\cdot \dfrac{s}{s^2+4} -4,8\cdot \dfrac{1}{s^2+4}.
Para inverter o segundo pedaço uso 2 como a: \dfrac{1}{s^2+4} = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{s^2+4}, cuja inversa é \dfrac{1}{2}\sin 2t. Então
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{0,2s-4,8}{s^2+4}\right\} = 0,2\cos 2t -4,8\cdot \dfrac{1}{2}\sin 2t = 0,2\cos 2t -2,4\sin 2t.
E as outras inversas são diretas:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-1}\right\}=e^{t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{2}{s-5}\right\}=2e^{5t}.
Portanto a solução em domínio do tempo é
y(t)=e^{t}+2e^{5t}+0,2\cos 2t -2,4\sin 2t,\qquad t\ge0.

Passo 7

Como verificação rápida e motivadora (pra ganhar confiança): calculo y(0) e y'(0) a partir da solução encontrada para confirmar as condições iniciais.
  • y(0)=1+2+0,2\cdot 1 -2,4\cdot 0 =3,2 — bate com y(0)=3,2.
  • Derivando y(t): y'(t)=e^{t}+10e^{5t}-0,4\sin 2t -4,8\cos 2t.Avaliando em t=0: y'(0)=1+10-0-4,8=6,2,que coincide com y'(0)=6,2.
Tudo confere, então a solução está correta.

Resposta

y(t)=e^{t}+2e^{5t}+0,2\cos 2t -2,4\sin 2t

Exercícios relacionados