Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
(Dados desviados) y^{\prime}-6 y=0, \quad y(2)=4

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial deslocada no tempo. Especificamente:
  • Equação diferencial: \displaystyle y'(t)-6\,y(t)=0.
  • Condição inicial: \displaystyle y(2)=4.
    O objetivo é determinar a função \displaystyle y(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição dada.

Passo 2

Por que isso exige cuidado com a transformada de Laplace? A transformada de Laplace padrão exige a informação do valor inicial em t=0 (isto é, y(0)) quando aplicamos a fórmula para \mathcal{L}\{y'\}. Aqui a condição é em t=2, não em t=0. Para contornar isso de forma direta e manter o uso da transformada de Laplace, fazemos uma mudança de variável temporal que “traga” a condição para t=0.
Definimos uma nova função \displaystyle u(t) por
u(t)=y(t+2).
Observações:
  • Essa definição implica \displaystyle u(0)=y(2)=4, ou seja, agora a condição inicial ficou em t=0.
  • Derivando em relação a t: \displaystyle u'(t)=y'(t+2).
    Substituindo na equação original avaliada em t+2 temos
y'(t+2)-6y(t+2)=0 \quad\Longrightarrow\quad u'(t)-6u(t)=0.
Assim reduzimos o problema para a equação com condição em zero:
u'(t)-6u(t)=0,\qquad u(0)=4.

Passo 3

Recordando a definição e propriedades básicas da transformada de Laplace (aula rápida): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa de Laplace. Duas propriedades importantes que vamos usar:
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\}(s)=a\mathcal{L}\{f\}(s)+b\mathcal{L}\{g\}(s).
  • Transformada da derivada: se F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s) e f é apropriada, então
\mathcal{L}\{f'(t)\}(s)=sF(s)-f(0).
Aqui f(0) é o valor inicial no instante 0, e s é a variável de Laplace. Essas fórmulas transformam a equação diferencial em uma equação algébrica em s.

Passo 4

Aplique a transformada de Laplace à equação para u(t):
u'(t)-6u(t)=0.
Tomando \mathcal{L}\{\cdot\} em ambos os lados e denotando U(s)=\mathcal{L}\{u\}(s), pela propriedade da derivada obtemos
\mathcal{L}\{u'\}(s)-6\mathcal{L}\{u\}(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad \big(sU(s)-u(0)\big)-6U(s)=0.
Substituímos o valor conhecido u(0)=4:
sU(s)-4-6U(s)=0.
Agrupando U(s):
U(s)\,(s-6)=4.
Logo
U(s)=\frac{4}{s-6}.

Passo 5

Agora fazemos a transformada inversa. Usamos a tabela básica (ou a propriedade conhecida)
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}(t)=e^{a t},
válido para \Re(s)>a. Aplicando isso ao nosso U(s):
u(t)=\mathcal{L}^{-1}\{U(s)\}(t) =\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{4}{s-6}\right\}(t) =4\,e^{6 t}.
Verificação rápida (opcional): u'(t)=24 e^{6t} e u'(t)-6u(t)=24e^{6t}-6\cdot4e^{6t}=0, ok.

Passo 6

Voltamos à função original y. Lembrando que definimos u(t)=y(t+2), então para recuperar y fazemos t\mapsto t-2:
y(t)=u(t-2).
Portanto, substituindo u:
y(t)=4\,e^{6(t-2)}.
Podemos também escrever y(t)=4e^{-12}e^{6t}, que é algebraicamente equivalente. Verificação da condição: y(2)=4e^{6(2-2)}=4e^{0}=4, como pedido. Verificação da equação: y'(t)=24 e^{6(t-2)} e y'(t)-6y(t)=24e^{6(t-2)}-6\cdot4e^{6(t-2)}=0, consistente.

Passo 7

Comentário didático final — outra forma (curta) de ver isso sem Laplace: a equação é linear homogênea de primeira ordem; sua solução geral é \displaystyle y(t)=C e^{6t}. Impor y(2)=4 C e^{12}=4\Rightarrow C=4e^{-12}, daí y(t)=4e^{6(t-2)}. Usei a transformada de Laplace acima porque foi o método pedido; é útil ver que o resultado coincide com a solução direta clássica.

Resposta

\displaystyle y(t)=4\,e^{6(t-2)}

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