O conteúdo é continuidade de funções definidas por partes. Vamos verificar a continuidade em cada região e na fronteira x^{2}+y^{2}=1.
Passo 2
Na região interior x^{2}+y^{2}<1, a função vale
f(x,y)=x^{4}y.
Como é um polinômio em (x,y), é contínua em toda essa região.
Passo 3
Na região externa x^{2}+y^{2}>1, a função vale
f(x,y)=0,
que é constante, logo contínua em toda essa região.
Passo 4
Nos pontos da fronteira x^{2}+y^{2}=1, o valor de f é
f(x,y)=x^{4}y.
Para testar continuidade em (x,y) com x^{2}+y^{2}=1, precisamos ver se
\lim_{(u,v)\to(x,y)}f(u,v)=f(x,y).
Aproximando-se por fora (onde u^{2}+v^{2}>1), f(u,v)=0, então o limite externo é 0. Aproximando-se por dentro (onde u^{2}+v^{2}<1), f(u,v)=u^{4}v\to x^{4}y. Logo o limite existe e coincide com f(x,y) se, e somente se,
x^{4}y=0.
Passo 5
Na fronteira x^{2}+y^{2}=1, a condição x^{4}y=0 implica x=0 ou y=0. Os pontos que satisfazem ambas as condições são
(1,0),\;(-1,0),\;(0,1),\;(0,-1).
Nesses quatro pontos, o limite de dentro e de fora vale 0 e coincide com f(x,y). Nos demais pontos da fronteira xy\neq0, os limites interno e externo são diferentes, então f é descontínua ali.
Resposta
A função f é contínua em todos os pontos com x^{2}+y^{2}\neq1 (ou seja, em x^{2}+y^{2}<1 e em x^{2}+y^{2}>1) e também nos pontos da fronteira (1,0), (-1,0), (0,1) e (0,-1). Nos demais pontos da fronteira \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\} com xy\neq0, f é descontínua.