Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+y=x, y(0)=1, y^prime(0)=-2

Passo 1

Temos o problema de valor inicial y'' + y = x com y(0)=1 e y'(0)=-2. O conteúdo é equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos precisar resolver a parte homogênea, achar uma solução particular e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
yh'' + yh = 0
A equação característica é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r=pm i. Portanto,
yh(x) = Acos x + Bsin x

Passo 3

Para encontrar uma solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo não homogêneo é polinomial de grau 1, tentamos
yp(x) = Cx + D
Então yp' = C e yp''=0. Substituindo em y''+y=x
0 + (Cx + D) = x
Comparando coeficientes: C=1 e D=0. Logo,
yp(x) = x

Passo 4

A solução geral é a soma
y(x) = yh(x) + yp(x) = Acos x + Bsin x + x
E sua derivada é
y'(x) = -Asin x + Bcos x + 1

Passo 5

Aplicando as condições iniciais: em x=0
y(0) = A + 0 + 0 = 1 implies A = 1,
y'(0) = 0 + B + 1 = -2 implies B + 1 = -2 implies B = -3

Resposta

y(x) = cos x - 3sin x + x

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